Algunos estudiantes de un grupo eran amigos de algunos otros. Un día todos los estudiantes del grupo participan en un picnic. Durante el picnic algunos amigos se pelearon entre sí, pero algunos otros estudiantes se hicieron amigos. Después del picnic, el número de amigos de cada estudiante cambió en $1$ . Demuestre que el número de estudiantes del grupo era par.

1 1. Al barón Munchhausen le dijeron que cierto polinomio $P(x)=a_{n} x^{n}+\ldots+a_{1} x+a_{0}$ es tal que $P(x)+P(-x)$ tiene exactamente 45 raíces reales distintas. El barón no sabe el valor de $n$ . Sin embargo, afirma que puede determinar uno de los coeficientes $a_{n}, \ldots, a_{1}, a_{0}$ (indicando su posición y su valor). ¿Se equivoca el barón? Boris Frenkin

1 Halle todas las funciones inyectivas $ f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ que satisfacen \[ f(f(n)) \le\frac{n + f(n)}{2}\] para cada $ n \in \mathbb{N}$ .

Cinco números 1,2,3,4,5 están escritos en una pizarra. Un estudiante puede borrar cualesquiera dos de los números a y b de la pizarra y escribir, reemplazándolos, los números a+b y ab . Si esta operación se realiza repetidamente, ¿pueden llegar a aparecer en la pizarra los números 21,27,64,180,540? Math-lover123

4 Sea $k$ una circunferencia con diámetro $AB$ . Se elige un punto $C$ en el interior del segmento $AB$ y un punto $D$ sobre $k$ tal que $BCD$ es un triángulo acutángulo, cuyo circuncentro se denota por $O$ . Sea $E$ la intersección de la circunferencia $k$ y la recta $BO$ (distinta de $B$ ) . Muestre que los triángulos $BCD$ y $ECA$ son semejantes.

3 Tres círculos dados tienen el mismo radio y pasan por un punto común $ P$ . Sus otros puntos de intersección por pares son $ A$ , $ B$ , $ C$ . Definimos el triángulo $ A'B'C'$ , cada uno de cuyos lados es tangente a dos de los tres círculos. Los tres círculos están contenidos en $ \triangle A'B'C'$ . Demuestre que el área de $ \triangle A'B'C'$ es al menos nueve veces el área de $ \triangle ABC$

2 2. Hay tres manecillas en un reloj. Cada una gira en la dirección normal a cierta velocidad no nula, que puede ser incorrecta. Por la mañana, las manecillas larga y corta coincidieron. Exactamente tres horas después de ese momento, las manecillas larga y mediana coincidieron. Tras las siguientes cuatro horas, las manecillas corta y mediana coincidieron. ¿Ocurrirá necesariamente que las tres manecillas coincidan? Alexandr Yuran

Demuestre que cualquier número racional puede representarse como un producto de cuatro números racionales cuya suma sea cero.

3 3. Considere todos los enteros positivos de 100 cifras tales que cada dígito decimal de estos es igual a $2,3,4,5,6$ o 7 . ¿Cuántos de estos enteros son divisibles por $2^{100}$ ? Pavel Kozhevnikov

4 Una sociedad $ n-m$ es un grupo de $ n$ niñas y $ m$ niños. Demuestre que existen números $ n_0$ y $ m_0$ tales que toda sociedad $ n_0-m_0$ contiene un subgrupo de cinco niños y cinco niñas con la siguiente propiedad: o todos los niños conocen a todas las niñas, o ninguno de los niños conoce a ninguna de las niñas.