3 Sea $k$ un entero positivo no menor que 3 y $x$ un número real. Demuestre que si $\cos (k-1)x$ y $\cos kx$ son racionales, entonces existe un entero positivo $n>k$ , tal que tanto $\cos (n-1)x$ como $\cos nx$ son racionales.

1 Sea $S=\{n|n-1,n,n+1$ pueden expresarse como la suma de los cuadrados de dos enteros positivos . $\}$ . Demuestre que si $n$ está en $S$ , entonces $n^{2}$ también está en $S$ .

4 Dado un entero positivo $ n\geq 2$ , sean $ B_{1}$ , $ B_{2}$ , ..., $ B_{n}$ $ n$ subconjuntos de un conjunto $ X$ tales que cada $ B_{i}$ contiene exactamente dos elementos. Halle el valor mínimo de $ \left|X\right|$ tal que para cualquier elección de subconjuntos $ B_{1}$ , $ B_{2}$ , ..., $ B_{n}$ de este tipo, exista un subconjunto $ Y$ de $ X$ tal que: (1) $ \left|Y\right| = n$ ; (2) $ \left|Y \cap B_{i}\right|\leq 1$ para todo $ i\in\left\{1,2,...,n\right\}$ .

A6 Sea $n \geq 1$ un entero, y sean $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ números reales tales que \[ 1 \geq a_{n-1} \geq a_{n-2} \geq \dots \geq a_1 \geq a_0 \geq 0. \] Suponemos que $\lambda$ es una raíz real del polinomio \[ x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0. \] Demuestre que $|\lambda| \leq 1$ .

1 En el trapecio $ABCD$ con bases $AD, BC$ , se tiene $AD = 2BC$ y $M$ es el punto medio de $AB$ . Demuestre que la recta $BD$ pasa por el punto medio del segmento $CM$ .

6 En el triángulo rectángulo isósceles $ABC$ , $CA = CB = 1$ . $P$ es un punto arbitrario sobre los lados de $ABC$ . Halle el máximo de $PA \cdot PB \cdot PC$ .

8 Para $n$ personas, si se sabe que (a) entre cualesquiera tres personas existen dos que se conocen entre sí, y (b) entre cualesquiera cuatro personas existen dos que no se conocen entre sí. Halle el máximo de $n$ . Aquí, asumimos que si $A$ conoce a $B$ , entonces $B$ conoce a $A$ .

I4 Halle el máximo y el mínimo de la expresión \[ \max(a_1, a_2) + \max(a_2, a_3), + \dots + \max(a_{n-1}, a_n) + \max(a_n, a_1), \] donde $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ recorre el conjunto de permutaciones de $(1, 2, \dots, n)$ .

2 Dados tres puntos $P$ , $A$ , $B$ y un círculo tales que las rectas $PA$ y $PB$ son tangentes al círculo en los puntos $A$ y $B$ , respectivamente. Una recta que pasa por el punto $P$ interseca a ese círculo en dos puntos $C$ y $D$ . Por el punto $B$ , trace una recta paralela a $PA$ ; sea $E$ y $F$ los puntos donde esta recta interseca a las rectas $AC$ y $AD$ , respectivamente. Demuestre que $BE = BF$ .

3 Sea $S = \{1, 2, 3, ..., 2005\}$ . Si entre cualesquiera $n$ números primos relativos por pares en $S$ existe al menos un número primo, halle el mínimo de $n$ .