Se dan finitas rectas que pasan por algún punto $P{}.$ Demuestre que estas rectas pueden colorearse de rojo y azul y que se puede encontrar un punto $Q\neq P$ tal que la suma de las distancias desde $Q{}$ a las rectas rojas sea igual a la suma de las distancias desde $Q{}$ a las rectas azules.

Nueve números $a, b, c, \dots$ están dispuestos alrededor de un círculo. Todos los números de la forma $a+b^c, \dots$ son primos. ¿Cuál es el mayor número posible de números diferentes entre $a, b, c, \dots$ ?

El círculo inscrito del triángulo $ABC{}$ toca los lados $BC,CA$ y $AB{}$ en $A',B'$ y $C'{}$ respectivamente. Sea $I_a$ el $A$ - excentro de $ABC{}.$ Demuestre que $I_aA'$ es perpendicular a la recta determinada por los circuncentros de $I_aBC'$ y $I_aCB'.$

En cada segmento unitario que no está en la frontera de un tablero de ajedrez $8\times 8$ , escribimos el número de disecciones del tablero en dominós en las que este segmento está en el borde de un dominó. ¿Cuál es la última cifra de la suma de todos los números escritos?

Sean $p,q$ y $s{}$ números primos tales que $2^sq =p^y-1$ donde $y > 1.$ Halle todos los valores posibles de $p.$

Demuestre que para todo entero impar $n > 1$ , existen tres enteros positivos $a$ , $b$ y $c$ , coprimos dos a dos, tales que: $$a^2 + 2b^2 + 4c^2 = 3^n.$$

Decimos que una diagonal de un pentágono convexo es buena si divide al pentágono en un triángulo y un cuadrilátero circunscribible. ¿Cuál es el número máximo de diagonales buenas que puede tener un pentágono convexo? Aclaración: Un polígono es circunscribible si existe una circunferencia tangente a cada uno de sus lados.

Un $L$ - trominó es una figura formada por tres cuadrados, obtenida al quitar un cuadrado de un tablero $2\times 2$ . Tenemos un tablero $7\times 7$ formado por $112$ segmentos unitarios. Una configuración de varios $L$ - trominós es óptima si los $L$ - trominós no se superponen, cada uno cubre exactamente tres cuadrados del tablero y, además, ningún segmento unitario del tablero pertenece a dos $L$ - trominós. A continuación se muestra una configuración óptima de 5 $L$ - trominós: https://i.postimg.cc/3yb3Lw0j/2.png Determine el mayor valor posible de $n$ para el cual existe una configuración óptima de L-trominós en el tablero $7\times 7$ .

Sea $n$ un entero positivo fijo. Halle la mayor constante real $C_n$ que tiene la siguiente propiedad: Cualesquiera $2n$ números reales, no necesariamente distintos, que se encuentren en el intervalo $[100,101]$ , pueden particionarse en dos grupos con sumas $S_1$ y $S_2$ tales que $$1 \ge \frac{S_2}{S_1} \ge C_n.$$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ . Trace la altura $BQ$ , con $Q$ sobre el lado $AC$ . La recta paralela a $OC$ que pasa por $Q$ interseca la recta $BO$ en el punto $X$ . Demuestre que el punto $X$ y los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ son colineales.