25 $(GBR 2)$ Sean $a, b, x, y$ enteros positivos tales que $a$ y $b$ no tienen ningún divisor común mayor que $1$. Demuestra que el mayor número que no se puede expresar en la forma $ax + by$ es $ab - a - b$. Si $N(k)$ es el mayor número que no se puede expresar en la forma $ax + by$ de exactamente $k$ maneras, encuentra $N(k)$.

26 $(GBR 3)$ Un sólido liso consiste en un cilindro circular recto de altura $h$ y radio de la base $r$, coronado por un hemisferio de radio $r$ y centro $O$. El sólido se apoya sobre una mesa horizontal. Un extremo de una cuerda está unido a un punto de la base. La cuerda se estira (inicialmente mantenida en el plano vertical) sobre el punto más alto del sólido y se sujeta hacia abajo en el punto $P$ del hemisferio tal que $OP$ forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal. Demuestra que si $\alpha$ es suficientemente pequeño, la cuerda se aflojará si se desplaza ligeramente y ya no permanecerá en un plano vertical. Si luego se tensa a través de $P$, demuestra que cruzará la sección circular común del hemisferio y el cilindro en un punto $Q$ tal que $\angle SOQ = \phi$, donde $S$ es el punto donde inicialmente cruzaba esta sección, y $\sin \phi = \frac{r \tan \alpha}{h}$.

27 $(GBR 4)$ El segmento $AB$ biseca perpendicularmente a $CD$ en $X$. Demuestra que, sujeto a restricciones, existe un cono circular recto cuyo eje pasa por $X$ y en cuya superficie se encuentran los puntos $A,B,C,D.$ ¿Cuáles son las restricciones?

28 $(GBR 5)$ Definamos $u_0 = 0, u_1 = 1$ y para $n\ge 0, u_{n+2} = au_{n+1}+bu_n$, donde $a$ y $b$ son enteros positivos. Expresa $u_n$ como un polinomio en $a$ y $b$. Demuestra el resultado. Dado que $b$ es primo, demuestra que $b$ divide a $a(u_b -1)$.

29 $(GDR 1)$ Encuentra todos los números reales $\lambda$ tales que la ecuación $\sin^4 x - \cos^4 x = \lambda(\tan^4 x - \cot^4 x)$ $(a)$ no tiene solución, $(b)$ tiene exactamente una solución, $(c)$ tiene exactamente dos soluciones, $(d)$ tiene más de dos soluciones (en el intervalo $(0, \frac{\pi}{4}).$

G1 Consideramos un cuadrado $ABCD$ y un punto $E$ sobre el segmento $CD$ . La bisectriz de $\angle EAB$ corta al segmento $BC$ en $F$ . Demuestre que $BF + DE = AE$ .

1 Una sucesión de números reales \(a_1,a_2,\dots\) se llama mapuche si \(a_1>0\) y, para todo \(n\ge2\) , \[ a_1 a_2 \cdots a_{n-1} a_n \;=\; a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}. \] ¿Cuál es el número máximo de enteros que puede contener una sucesión así? Nota: el producto tiene \(n\) factores y la suma tiene \(n-1\) sumandos.

4 Halle todos los pares de números primos $(p,q)$ con $p>q>1$ tales que \[ (p-q-1)^3+(p-q)^3+\cdots+(p-1)^3+p^3+(p+1)^3+\cdots+(p+q)^3+(p+q+1)^3=(3pq)^2. \] Observe que el lado izquierdo de la igualdad tiene $2q+3$ términos, que son cubos de números consecutivos

3 Sean \(b\) y \(n\) enteros positivos con \(b\ge 2\) . Defina \(s_b(n)\) como la suma de las cifras de \(n\) expresado en base \(b\) . ¿Existe un entero \(n\ge 2\) tal que \[ s_2(n)\ge s_3(n)\ge \cdots \ge s_{2025}(n)? \] Nota: las cifras de \(n\) expresado en base \(b\) son los enteros \(a_0,a_1,\ldots,a_k\) tales que \[ n=a_0+a_1b+a_2b^2+\cdots+a_kb^k, \] con \(a_k\ne 0\) y \(0\le a_i\le b-1\) para \(i=0,1,\ldots,k\) .

5 El triángulo $ABC$ es acutángulo con $AB<AC$ . Sea $\omega$ la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $D$ el punto de tangencia de $\omega$ con el lado $BC$ , y sea $L$ el punto de $\omega$ diametralmente opuesto a $D$ . La recta $AL$ interseca al lado $BC$ en el punto $E$ . Sea $N$ el punto medio del arco $BC$ de $\Gamma$ que contiene a $A$ . La recta $NL$ interseca de nuevo a $\omega$ en el punto $K$ . Demuestre que los puntos $A,N,E,$ y $K$ están sobre una misma circunferencia.