Sean $a,b,c\in\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}$ tales que $|a|=|b|=|c|$ y $A=a+b+c$ y $B=abc$ son ambos números reales. Demuestre que $ C_n=a^n+b^n+c^n$ es también un número real $,$ $(\forall)n\in\mathbb{N}.$

2019.5 Consideramos los $n$ vértices de un polígono regular de $n$ lados. Se tiene un conjunto de triángulos con vértices en estos $n$ puntos con la propiedad de que para cada triángulo del conjunto, al menos uno de sus lados no es lado de ningún otro triángulo del conjunto. ¿Cuál es la mayor cantidad de triángulos que puede tener el conjunto?

G8 Sea $AA'BCC'B'$ un hexágono cíclico convexo tal que $AC$ es tangente a la circunferencia inscrita del triángulo $A'B'C'$ y $A'C'$ es tangente a la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ . Las rectas $AB$ y $A'B'$ se cortan en $X$ y las rectas $BC$ y $B'C'$ se cortan en $Y$ . Demuestre que si $XBYB'$ es un cuadrilátero convexo, entonces tiene una circunferencia inscrita.

Sea $n\in\mathbb{N}\setminus\left\{0\right\}$ un entero positivo. Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen que : $$f(x+y^{2n})=f(f(x))+y^{2n-1}f(y),(\forall)x,y\in\mathbb{R},$$ y $f(x)=0$ tiene una única solución.

Considere la matriz $X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ que satisface $X^{2022}=X^{2023}.$ Demuestre que $X^2=X^3.$

Sea $k\geqslant 2$ un entero. Considere la sucesión $(x_n)_{n\geqslant 1}$ definida por $x_1=a>0$ y $x_{n+1}=x_n+\lfloor k/x_n\rfloor$ para $n\geqslant 1.$ Demuestre que la sucesión es convergente y determine su límite.

Sea $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ una matriz antisimétrica, es decir, $A=-A^t.$ Demuestre que si $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ y $A^2=O_n$ entonces $A=O_n.$ Suponga que $n{}$ es impar. Demuestre que si $A{}$ es la adjunta de otra matriz $B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ entonces $A^2=O_n.$

Considere las funciones $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $f{}$ es continua. Para cualesquiera números reales $a<b<c$ existe una sucesión $(x_n)_{n\geqslant 1}$ que converge a $b{}$ y para la cual el límite de $g(x_n)$ cuando $n{}$ tiende a infinito existe y satisface \[f(a)<\lim_{n\to\infty}g(x_n)<f(c).\] Dé un ejemplo de un par de funciones $f,g$ de este tipo para el cual $g{}$ es discontinua en todo punto. Demuestre que si $g{}$ es monótona, entonces $f=g.$

Determine los enteros $n\geqslant 2$ para los cuales la ecuación $x^2-\hat{3}\cdot x+\hat{5}=\hat{0}$ tiene una única solución en $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot).$

Sea $f:[0,1]\to(0,\infty)$ una función continua en $[0,1]$ y sea $A=\int_0^1 f(t)\mathrm{d}t.$ Considere la función $F:[0,1]\to[0,A]$ definida por \[F(x)=\int_0^xf(t)\mathrm{d}t.\] Demuestre que $F(x)$ tiene una función inversa, que es diferenciable. Demuestre que existe una única función $g:[0,1]\to[0,1]$ para la cual \[\int_0^xf(t)\mathrm{d}t=\int_{g(x)}^1f(t)\mathrm{d}t\] se satisface para todo $x\in [0,1].$ Demuestre que existe $c\in[0,1]$ para el cual \[\lim_{x\to c}\frac{g(x)-c}{x-c}=-1,\] donde $g$ es la función determinada de manera única en b.