5 Sean $a, b, c$ números reales y consideremos las tres rectas $y=ax+b, y=bx+c, y=cx+a$ . Dos de estas rectas se cortan en un punto con coordenada $x$ igual a $1$ . Demuestre que la tercera pasa por un punto con dos coordenadas enteras.

6 Dada una permutación de $1, 2, \ldots, 2023, 2024$ y dos enteros positivos $a, b$ , tales que para cualesquiera dos números adyacentes se cumple al menos una de las condiciones siguientes: 1) su suma es $a$ ; 2) el valor absoluto de su diferencia es $b$ . Halle todos los valores posibles de $b$ .

7 Halle el mayor entero positivo $n$ tal que existe un conjunto finito $A$ de $n$ números reales con la propiedad de que para cualesquiera dos elementos distintos de $A$ , existe otro elemento de $A$ tal que la media aritmética de dos de estos tres elementos es igual al tercero.

8 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $X$ un punto variable sobre $AC$ . La circunferencia inscrita de $\triangle ABX$ es tangente a $AX, BX$ en $K, P$ , respectivamente. La circunferencia inscrita de $\triangle BCX$ es tangente a $CX, BX$ en $L, Q$ , respectivamente. Halle el lugar geométrico de $KP \cap LQ$ .

1 Las casas de Anya y Vanya están situadas en una carretera recta. La distancia entre sus casas está dividida por una tienda y una escuela en tres partes iguales. Si Anya y Vanya salen de sus casas al mismo tiempo y caminan uno hacia el otro, se encontrarán cerca de la tienda. Si Anya va en patinete, entonces su velocidad aumentará en $150\,\text{m/min}$ , y se encontrarán cerca de la escuela. Halle la velocidad de caminata de Vanya.

2 Hay $30$ niños de pie en un círculo. Para cada niña, resulta que entre las cinco personas que la siguen en el sentido de las agujas del reloj hay más niños que niñas. Halle el mayor número de niñas que pueden estar de pie en el círculo.

3 Sea $K$ un entero positivo. Egor tiene $100$ tarjetas con el número “ $2$ ” escrito en ellas, y $100$ tarjetas con el número “ $3$ ” escrito en ellas. Egor quiere pintar cada tarjeta de rojo o de azul de modo que ningún subconjunto de tarjetas del mismo color tenga la suma de los números igual a $K$ . Halle el mayor $K$ para el cual Egor no podrá pintar las tarjetas de tal manera.

4 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , las diagonales $AC$ y $BD$ son iguales y se intersecan en $E$ . Las mediatrices de $AB$ y $CD$ se intersecan en el punto $P$ , que se encuentra dentro del triángulo $AED$ , y las mediatrices de $BC$ y $DA$ se intersecan en el punto $Q$ , que se encuentra dentro del triángulo $CED$ . Demuestre que $\angle PEQ = 90^\circ$ .

5 Suponga que en la pizarra se escribieron $n$ enteros positivos consecutivos, con $n > 6$ . Luego se borraron $5$ de los números escritos, y resultó que cualesquiera dos de los números restantes son coprimos. Halle el mayor valor posible de $n$ .

6 Se elige un punto $P$ dentro de un cuadrilátero convexo $ABCD$ . ¿Podría ocurrir que $$PA = AB, \quad PB = BC, \quad PC = CD \quad \text{and} \quad PD = DA?$$