7 Suponga que $\{a_n\}$ es una sucesión tal que $a_{n+1}=(1+\frac{k}{n})a_{n}+1$ con $a_{1}=1$ . Halle todos los enteros positivos $k$ tales que todo $a_n$ sea un entero.

1A Como se muestra en la figura, $\odot O$ es la circunferencia inscrita del trapecio $ABCD$ , los puntos de tangencia son $E, F, G, H$ y $AB \parallel CD$ . La recta que pasa por $ B$ , paralela a $AD$ , interseca la prolongación de $DC$ en el punto $P$ . La prolongación de $AO$ interseca a $CP$ en el punto $Q$ . Si $AE=BE$ , demuestre que $\angle CBQ = \angle PBQ$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/d/2/7c3a04bb1c59bc6d448204fd78f553ea53cb9e.png

3 Demuestre que: (1) Existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el mayor factor primo de $n^2+1$ es menor que $n.$ (2) Existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ divide a $n!$ .

4 Como se muestra en la figura, se sabe que $ABCD$ es un paralelogramo, $A,B,C$ se encuentran sobre la circunferencia $\odot O_1$ , $AD$ y $BD$ intersecan a $\odot O$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente, $C,D,F$ se encuentran sobre la circunferencia $\odot O_2$ , y $AD$ interseca a $\odot O_2$ en el punto $G$ . Si los radios de las circunferencias $\odot O_1$ , $\odot O_2$ son $R_1, R_2$ respectivamente, demuestre que $\frac{EG}{AD}=\frac{R_2^2}{R_1^2}$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/d/f/1d9925a77d4f3fe068bd24364fb396eaa9a27a.png

5 Suponga que $n$ es un entero positivo y que el entero $a$ es una raíz de la ecuación $$x^4+3ax^2+2ax-2\times 3^n=0.$$ Halle todos los $n$ y $ a$ que satisfacen las condiciones.

6 Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y $c$ la longitud de la hipotenusa. Halle el valor mínimo de $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$ .

7 Dada una red de triángulos equiláteros compuesta por $\frac{n(n+1)}{2}$ puntos (como se muestra en la figura), denote por $f(n)$ el número de triángulos equiláteros que tienen tres puntos de la red como vértices. Halle una expresión para $f(n)$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/7/f/1de27231e8ef9c1c6a3dfd590a7c71adc508d6.png

1 Se dan tres números primos $p,q,r$ y un entero positivo $n$ tales que los números \[ \frac{p+n}{qr}, \frac{q+n}{rp}, \frac{r+n}{pq} \] son enteros. Demuestre que $p=q=r $ . Nazar Agakhanov

2 La tabla triangular de números dada es la siguiente: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/a/0/123b7511850047f3cc51494f107703f2757085.png Entre ellos, los números de la primera fila son $1, 2, 3, ..., 98, 99, 100$ . A partir de la segunda fila, cada número es igual a la suma de los números izquierdo y derecho de la fila superior. Halle el valor de $M$ .

4 Suponga que $P,Q\in \mathbb R[x]$ tales que $deg\ P=deg\ Q$ y $PQ'-QP'$ no tiene raíces reales. Demuestre que para cada $\lambda \in \mathbb R$ el número de raíces reales de $P$ y de $\lambda P+(1-\lambda)Q$ es igual. Omid