1. Se escriben $201$ enteros positivos en una línea, tales que tanto el primero como el último son iguales a $19999$ . Cada uno de los números restantes es menor que el promedio de sus números vecinos, y las diferencias entre cada uno de los números restantes y el promedio de sus números vecinos son todas iguales a un único entero. Halle el penúltimo término de la línea.

2. Dados varios números, se elige uno de ellos, $a$ , y se lo reemplaza por los tres números $\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a}{3}$ . Este proceso se repite con el nuevo conjunto de números, y así sucesivamente. Originalmente hay $1000$ unos, y aplicamos el proceso varias veces. Un número $m$ se llama bueno si después de cada iteración hay $m$ o más números iguales, sin importar cuántas ni qué operaciones se realicen. Halle el mayor número bueno posible.

2 Demuestre que los números $1,2,...,16$ se pueden ordenar en sucesión de modo que la suma de cualesquiera dos números vecinos sea un cuadrado perfecto

3 Sea $S$ un conjunto de $6$ números reales positivos tal que $\left(a,b \in S \right) \left(a>b \right) \Rightarrow a+b \in S$ o $a-b \in S$ Demuestre que si ordenamos estos números en orden ascendente, entonces forman una progresión aritmética

2 Sea $ABC$ un triángulo isósceles tal que $AB=AC$ . Halle los ángulos del triángulo $ABC$ si $\frac{AB}{BC}=1+2\cos{\frac{2\pi}{7}}$

2 En el triángulo $ABC$ , sobre el lado $AC$ , están los puntos $K$ , $L$ y $M$ tales que $BK$ es bisectriz del $\angle ABL$ , $BL$ es bisectriz del $\angle KBM$ y $BM$ es bisectriz del $\angle LBC$ , respectivamente. Demuestre que $4 \cdot LM <AC$ y $3\cdot \angle BAC - \angle ACB < 180^{\circ}$

3 Problema $4$ para grado

4 ¿Cuántos caballos se pueden colocar en un tablero de ajedrez $5 \times 5$ de modo que cada uno de ellos ataque exactamente a otros dos caballos?

1 Halle el valor mínimo de $A=\frac{\left(x+\frac{1}{x}\right)^6-\left(x^6+\frac{1}{x^6}\right)-2}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^3+\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)}$

2 Sea $ABC$ un triángulo isósceles tal que $\angle BAC = 100^{\circ}$ . Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del $\angle ABC$ con el lado $AC$ ; demuestre que $AD+DB=BC$