2 $E$ y $F$ son puntos interiores de los lados $BC$ y $CD$ del cuadrado ABCD, respectivamente. La perpendicular trazada desde el punto $F$ a la recta $AE$ interseca a la diagonal $BD$ del cuadrado en el punto $G$ . El punto interior del segmento $FG$ , $K$ es tal que $AK = EF$ . Halle el ángulo $\angle EKF$ .

3 El aula tiene forma de hexágono regular de lado $3$ metros. En cada vértice del hexágono hay un dispositivo que indica cuántos estudiantes están durmiendo a menos de $3$ metros de él. ¿Cuántos estudiantes están durmiendo si la suma de las lecturas de los seis dispositivos es $7$ ?

3 Halle todos los números naturales $n$ para los cuales $n^7+n^2+1$ es un número primo.

2 La bisectriz $AL$ del triángulo $ABC$ es igual al lado $AC$ . Hay un punto $K$ en esta bisectriz tal que $CK = BL$ . Demuestre que el ángulo $CKL$ es igual al ángulo $ABC$ .

1 $a,b$ son números reales tales que: \[ a^3+b^3=8-6ab. \] Halle los valores máximo y mínimo de $a+b$ .

3 Demuestre que si $a+b+c=0$ , entonces $(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c})=9$ .

1 Dados $2005$ números $$1^2 \,\,\, 2^2 \,\,\,3^2 \,\,\,... \,\,\,2005^2$$ Cada uno de ellos puede ir precedido de $+$ o $-$ . ¿Cuál es el número no negativo más pequeño que se puede obtener al realizar las operaciones aritméticas?

2 En un cuadrado blanco $7\times 7$ dividido en casillas unitarias, $29$ casillas están sombreadas. Demuestre que siempre es posible encontrar una «esquina» formada por tres casillas sombreadas.

4 Halle la cardinalidad máxima $|S|$ del subconjunto $S \subset A=\{1, 2, 3, \dots, 9\}$ dado que no hay dos sumas $a+b | a, b \in S, a \neq b$ que sean iguales.

4 La función $f(x)$ está definida para números positivos, toma valores positivos y satisface la ecuación $$ f(x)f(y)=f(xy)+f\left(\frac{x}{y}\right).$$ a) Mencione al menos tres de tales funciones. b) Demuestre que $f(x) \ge 2$ , $f(1)=2$ . c) Demuestre que si $f(x)$ satisface la condición, entonces la función $f^2(x)-2$ también la satisface.