1993.2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero y sea $O$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Sabiendo que el área del triángulo $AOB$ es igual a $1$, el área del triángulo $BOC$ es igual a $2$, y el área del triángulo $COD$ es igual a $4$, calcula el área del triángulo $AOD$ y demuestra que $ABCD$ es un trapecio.

1993 adicional

1993.3 Justifica la siguiente construcción de la bisectriz de un ángulo con vértice inaccesible: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/9/d/be4f7799d58a28cab3b4c515633b0e021c1502.png Se toman $M \in a$ y $N \in b$, se trazan las $4$ bisectrices de los $4$ ángulos internos formados por $MN$ con $a$ y $b$. Dichas bisectrices se intersecan en $P$ y $Q$, entonces $PQ$ es la bisectriz buscada.

1993.4 ¿Es posible colocar en un rectángulo de $5$ cm por $8$ cm, $51$ círculos de diámetro $1$ cm, de modo que no se superpongan? ¿Sería posible para más de $40$ círculos?

1993.5 Una manzana de casas es un cuadrado. Hay allí un patio en el que ha caído una medalla de oro. Quien calcule cuánto mide el lado de dicha manzana, sabiendo que las distancias desde la medalla a tres esquinas consecutivas de la manzana son, respectivamente, $40$ m, $60$ m y $80$ m, ganará la medalla.

1993.6 Considera en el interior de un triángulo equilátero $ABC$ los puntos $D, E$ y $F$ tales que $D$ pertenece al segmento $BE$, $E$ pertenece al segmento $CF$ y $F$ al segmento $AD$. Si $AD=BE = CF$ entonces $DEF$ es equilátero.

1993.12 Dadas $4$ rectas en el plano tales que no hay $2$ paralelas entre sí ni $3$ concurrentes, consideramos los siguientes $8$ segmentos: en cada recta tenemos $2$ segmentos consecutivos determinados por las intersecciones con las otras tres rectas. Demuestra que: a) Las longitudes de los $8$ segmentos no pueden ser los números $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ en algún orden. b) Las longitudes de los $8$ segmentos pueden ser $8$ enteros distintos.

1993.13 Determina los valores reales de $x$ tales que el triángulo con lados $5$ , $8$ , y $x$ sea obtuso.

2003.G1 Sea $O$ el circuncentro del triángulo isósceles $ABC$ ( $AB = AC$ ). Sea $P$ un punto del segmento $AO$ y $Q$ el simétrico de $P$ respecto al punto medio de $AB$. Si $OQ$ corta a $AB$ en $K$ y la circunferencia que pasa por $A$, $K$ y $O$ corta a $AC$ en $L$, demuestra que $\angle ALP = \angle CLO$.

2003.G2 Los círculos \(C_1, C_2\) y \(C_3\) son tangentes externamente por pares (cada uno tangente a los otros dos externamente). Sea \(M\) el punto común de \(C_1\) y \(C_2\), \(N\) el punto común de \(C_2\) y \(C_3\), y \(P\) el punto común de \(C_3\) y \(C_1\). Sea \(A\) un punto arbitrario de \(C_1\). La recta \(AM\) corta a \(C_2\) en \(B\), la recta \(BN\) corta a \(C_3\) en \(C\), y la recta \(CP\) corta a \(C_1\) en \(D\). Demuestra que \(AD\) es diámetro de \(C_1\).