4 En un trapecio $ABCD$ con $AB<CD$ y $AB \parallel CD$, las diagonales se cortan entre sí en $E$. Sea $F$ el punto medio del arco $BC$ (que no contiene al punto $E$) de la circunferencia circunscrita del triángulo $EBC$. Las rectas $EF$ y $BC$ se cortan en $G$. La circunferencia circunscrita del triángulo $BFD$ corta al rayo $[DA$ en $H$ tal que $A \in [HD]$. La circunferencia circunscrita del triángulo $AHB$ corta a las rectas $AC$ y $BD$ en $M$ y $N$, respectivamente. $BM$ corta a $GH$ en $P$, y $GN$ corta a $AC$ en $Q$. Demuestre que los puntos $P, Q, D$ son colineales.

5 En un triángulo acutángulo $ABC$, los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ y $C$ a los lados opuestos son $D$ y $E$, respectivamente. La recta que pasa por $E$ y es paralela a $BC$ corta a $AC$ en $F$; la recta que pasa por $D$ y es paralela a $AB$ corta a $AC$ en $G$. Los pies de las perpendiculares trazadas desde $F$ a $DG$ y $GE$ son $K$ y $L$, respectivamente. $KL$ corta a $ED$ en $M$. Demuestre que $FM \perp ED$.

6 Demuestre que \[ (x^4+y)(y^4+z)(z^4+x) \geq (x+y^2)(y+z^2)(z+x^2) \] para todos los números reales positivos $x, y, z$ que satisfacen $xyz \geq 1$.

7 Halle todos los pares $(p, q)$ de números primos que satisfacen \[ p^3+7q=q^9+5p^2+18p. \]

8 Sea $G$ un grafo simple conexo con $2016$ vértices y $k$ aristas. Queremos elegir un conjunto de vértices entre los cuales no haya aristas y eliminar todos estos vértices elegidos (eliminamos tanto los vértices como todas las aristas incidentes a ellos) de modo que el grafo restante quede disconexo. Si podemos realizar esta tarea sin importar cómo estén dispuestas estas $k$ aristas (de modo que el grafo sea conexo), halle el valor máximo de $k$.

1 Sean $p,q$ números primos tales que su suma no es divisible por $3$. Halle todas las cuádruplas $(p,q,r,n)$ de enteros positivos que satisfacen: $$p+q=r(p-q)^n$$ Propuesto por Şahin Emrah

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $\omega$ una circunferencia tangente a las rectas $AB$ y $BC$ en los puntos $A$ y $C$, respectivamente. $\omega$ corta a los segmentos $AD$ y $CD$ de nuevo en $E$ y $F$, respectivamente, ambos diferentes de $D$. Sea $G$ el punto de intersección de las rectas $AF$ y $CE$. Dado que $\angle ACB=\angle GDC+\angle ACE$, demuestre que la recta $AD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $AGB$.

3 En un país que consta de $2015$ ciudades, entre cualesquiera dos ciudades hay exactamente un vuelo directo de ida y vuelta operado por alguna aerolínea. Halle el número mínimo posible de aerolíneas si los vuelos directos entre cualesquiera tres ciudades son operados por tres aerolíneas diferentes.

4 Demuestre que $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+2(a+b+c)$$ para todos los números reales positivos $a,b,c$ que satisfacen $a^2+b^2+c^2+2abc \le 1$.

5 Un número cuadrático es una raíz real de las ecuaciones $ax^2 + bx + c = 0$ donde $|a|,|b|,|c|\in\{1,2,\ldots,10\}$. Halle el menor entero positivo $n$ para el cual al menos uno de los intervalos $$\left(n-\dfrac{1}{3}, n\right)\quad \text{and}\quad\left(n, n+\dfrac{1}{3}\right)$$ no contiene ningún número cuadrático.