1 Demuestre que para números reales positivos $a$ , $b$ , $c$ tales que $a+b+c+abc=4$ , \[\left (1+\dfrac{a}{b}+ca \right )\left (1+\dfrac{b}{c}+ab \right)\left (1+\dfrac{c}{a}+bc \right) \ge 27\] se cumple.

4 $ABC$ es un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . Los puntos $D$ y $E$ están en el segmento $BC$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle BHC$ interseca a los segmentos $AD$ , $AE$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Demuestre que si $BD^2+CD^2=2DP\cdot DA$ y $BE^2+CE^2=2EQ\cdot EA$ , entonces $BP=CQ$ .

3 Halle todos los pares $(p,n)$ tales que $p$ es un número primo, $n$ es un entero positivo y \[p^3-2p^2+p+1=3^n \] se cumple.

4 Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el punto medio del segmento $BC$ . La circunferencia que pasa por $D$ y es tangente a $AB$ en $B$ , y la circunferencia que pasa por $D$ y es tangente a $AC$ en $C$ se intersecan en $M\neq D$ . Sea $M'$ el reflejo de $M$ con respecto a $BC$ . Demuestre que $M'$ está sobre $AD$ .

1 Muestre que \[1 \leq \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2} \leq \frac98\] se cumple para todos los números reales positivos $x,y$ .

3 $m < n$ son enteros positivos. Sea $p=\frac{n^2+m^2}{\sqrt{n^2-m^2}}$ . (a) Halle tres pares de enteros positivos $(m,n)$ que hagan que $p$ sea primo. (b) Si $p$ es primo, muestre que $p \equiv 1 \pmod 8$ .

4 Cada estudiante elige $1$ problema de matemáticas y $1$ problema de física entre $20$ problemas de matemáticas y $11$ problemas de física. Ningún par de problemas igual es seleccionado por dos estudiantes. Además, al menos uno de los problemas seleccionados por cualquier estudiante es seleccionado por a lo sumo otro estudiante. ¿Cuántos estudiantes hay como máximo?

1 Sea la recta tangente que pasa por un punto $A$ exterior a la circunferencia con centro $O$ y toca a la circunferencia en $B$ y $C$ . Sea $[BD]$ el diámetro de la circunferencia. Sean las rectas $CD$ y $AB$ que se intersecan en $E$ . Si las rectas $AD$ y $OE$ se intersecan en $F$ , halle $|AF|/|FD|$ .

2 Al comienzo, cada casilla de una tira formada por $n$ casillas adyacentes contiene $0$ o $1$ . En cada paso, escribimos $1$ en las casillas que contienen $0$ y en las casillas que tienen exactamente un vecino que contiene $1$ , y escribimos $0$ en las demás casillas. Determine todos los valores posibles de $n$ tales que, cualquiera sea la disposición inicial de $0$ y $1$ , después de un número finito de pasos todas las casillas puedan convertirse en $0$ .

1 Sean $x, y$ enteros y $p$ un primo para el cual \[ x^2-3xy+p^2y^2=12p \] Halle todas las ternas $(x,y,p)$ .