6 Dos números racionales \(\tfrac{m}{n}\) y \(\tfrac{n}{m}\) están escritos en un pizarrón, donde \(m\) y \(n\) son enteros positivos primos relativos. En cualquier momento, Evan puede escoger dos de los números \(x\) y \(y\) escritos en el pizarrón y escribir también en el pizarrón ya sea su media aritmética \(\tfrac{x+y}{2}\) o su media armónica \(\tfrac{2xy}{x+y}\) . Halle todos los pares \((m,n)\) tales que Evan pueda escribir 1 en el pizarrón en una cantidad finita de pasos. Propuesto por Yannick Yao

1 Para cada entero positivo $n$ , halle el número de enteros positivos de $n$ dígitos que satisfacen ambas de las siguientes condiciones: no hay dos dígitos consecutivos iguales, y el último dígito es un primo.

2 Sean \(a,b,c\) números reales positivos tales que \(a+b+c=4\sqrt[3]{abc}\) . Demuestre que \[2(ab+bc+ca)+4\min(a^2,b^2,c^2)\ge a^2+b^2+c^2.\]

3 Sea $ABC$ un triángulo equilátero y sea $P$ un punto sobre su circunferencia circunscrita. Las rectas $PA$ y $BC$ se cortan en $D$ , $PB$ y $AC$ se cortan en $E$ , y $PC$ y $AB$ se cortan en $F$ . Demuestre que el área de $\triangle DEF$ es el doble del área de $\triangle ABC$ . Propuesto por Titu Andreescu, Luis Gonzales, Cosmin Pohoata

4 El triángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia de radio 2 con $\angle ABC \geq 90^\circ$ , y $x$ es un número real que satisface la ecuación $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1 = 0$ , donde $a=BC$ , $b=CA$ , $c=AB$ . Halle todos los valores posibles de $x$ .

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en la circunferencia $\omega$ con $\overline{AC} \perp \overline{BD}$ . Sean $E$ y $F$ las reflexiones de $D$ respecto a las rectas $BA$ y $BC$ , respectivamente, y sea $P$ la intersección de las rectas $BD$ y $EF$ . Suponga que la circunferencia circunscrita de $\triangle EPD$ corta a $\omega$ en $D$ y $Q$ , y que la circunferencia circunscrita de $\triangle FPD$ corta a $\omega$ en $D$ y $R$ . Demuestre que $EQ = FR$ .

4 ¿Existen ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos tales que $(a-2)(b-2)(c-2)+12$ sea un número primo que divide propiamente al número positivo $a^2+b^2+c^2+abc-2017$ ?

1 Demuestre que existen infinitas parejas distintas $(a, b)$ de enteros primos entre sí $a>1$ y $b>1$ tales que $a^b+b^a$ es divisible por $a+b$ .

2 Considere la ecuación \[(3x^3+xy^2)(x^2y+3y^3)=(x-y)^7\] (a) Demuestre que existen infinitas parejas $(x,y)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación. (b) Describa todas las parejas $(x,y)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación.

5 Sea $p$ un primo, y sean $a_1, \dots, a_p$ enteros. Demuestre que existe un entero $k$ tal que los números \[a_1 + k, a_2 + 2k, \dots, a_p + pk\] producen al menos $\tfrac{1}{2} p$ residuos distintos al dividir por $p$ . Propuesto por Ankan Bhattacharya