1 Se da un tetraedro. Determina si es posible colocar algunos 10 enteros positivos consecutivos en 4 vértices y en 6 puntos medios de las aristas, de modo que el número en el punto medio de cada arista sea igual a la media aritmética de los dos números en los extremos de esa arista.

2 Sea $I$ el incentro de un triángulo acutángulo $ABC$. Sean $P$, $Q$, $R$ puntos sobre los lados $AB$, $BC$, $CA$ respectivamente, tales que $AP=AR$, $BP=BQ$ y $\angle PIQ = \angle BAC$. Demuestra que $QR \perp AC$.

3 Para $2n$ enteros positivos, un emparejamiento (es decir, dividirlos en $n$ pares) se llama {\it no cuadrado} si el producto de los dos números en cada par no es un cuadrado perfecto. Demuestra que si existe un emparejamiento no cuadrado, entonces hay al menos $n!$ emparejamientos no cuadrados. (Con $n!$ denota el producto $1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n$.)

Morteza coloca una función $[0,1]\to [0,1]$ (es decir, una función con dominio $[0,1]$ y valores en $[0,1]$) en cada celda de un tablero de $n \times n$. Pavel quiere colocar una función $[0,1]\to [0,1]$ a la izquierda de cada fila y debajo de cada columna (es decir, colocar $2n$ funciones en total) de modo que se cumpla la siguiente condición para cualquier celda del tablero: Si $h$ es la función en esa celda, $f$ es la función debajo de su columna, y $g$ es la función a la izquierda de su fila, entonces $h(x) = f(g(x))$ para todo $x \in [0, 1]$. Demuestra que Pavel siempre puede cumplir su plan.

El Barón Munchausen descubrió el siguiente teorema: "Para cualesquiera enteros positivos $a$ y $b$ existe un entero positivo $n$ tal que $an$ es un cubo perfecto, mientras que $bn$ es una quinta potencia perfecta". Determina si el enunciado del teorema del Barón es correcto.

6 Dos gráficas $G_1$ y $G_2$ de polinomios cuadráticos se intersectan en los puntos $A$ y $B$. Sea $O$ el vértice de $G_1$. Las rectas $OA$ y $OB$ intersectan a $G_2$ nuevamente en los puntos $C$ y $D$. Demuestra que $CD$ es paralela al eje $x$.

En un triángulo acutángulo $ABC$, las alturas desde $A,B,C$ cortan a los lados de $ABC$ en $A_1$, $B_1$, $C_1$, y cortan a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $A_2$, $B_2$, $C_2$, respectivamente. La recta $A_1 C_1$ interseca a las circunferencias circunscritas de los triángulos $AC_1 C_2$ y $CA_1 A_2$ en los puntos $P$ y $Q$ ($Q\neq A_1$, $P\neq C_1$). Demuestra que la circunferencia $PQB_1$ es tangente a la recta $AC$.

En las celdas de un tablero de $8\times 8$, se colocan canicas una por una. Inicialmente no hay canicas en el tablero. Una canica puede colocarse en una celda libre que sea vecina (por lado) de al menos tres celdas que sigan libres. Encuentra el mayor número posible de canicas que se pueden colocar en el tablero según estas reglas.

6. Cada uno de los $n$ cuadrados negros y $n$ cuadrados blancos se puede obtener de cualquier otro mediante una traslación. Cada dos cuadrados de distinto color tienen un punto en común. Demuestra que existe un punto que pertenece al menos a $n$ cuadrados. (V. Dolnikov)

2 Los puntos $K$ y $L$ sobre el lado $BC$ de un triángulo $\triangle{ABC}$ son tales que $\widehat{BAK}=\widehat{CAL}=90^\circ$. Demuestra que el punto medio de la altura trazada desde $A$, el punto medio de $KL$ y el circuncentro de $\triangle{ABC}$ son colineales. (A. Akopyan, S. Boev, P. Kozhevnikov)