7. Calcula la suma $1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\dots+99^{2}$ .

10 Sea $ABC$ un triángulo con $AC > BC$, sea $\omega$ el circuncírculo de $\triangle ABC$, y sea $r$ su radio. Se elige un punto $P$ sobre $\overline{AC}$ tal que $BC=CP$, y sea $S$ el pie de la perpendicular desde $P$ a $\overline{AB}$. El rayo $BP$ corta a $\omega$ nuevamente en $D$. Se elige un punto $Q$ sobre la recta $SP$ tal que $PQ = r$ y $S,P,Q$ están sobre una recta en ese orden. Finalmente, sea $E$ un punto que satisface $\overline{AE} \perp \overline{CQ}$ y $\overline{BE} \perp \overline{DQ}$. Demuestra que $E$ está sobre $\omega$.

Sea $I$ el incentro de $\triangle ABC$ y sea $P$ un punto tal que $PI$ es perpendicular a $BC$ y $PA$ es paralela a $BC$ . Sea la recta paralela a $BC$ que es tangente a la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ , e interseca a $AB$ y a $AC$ en los puntos $Q$ y $R$ respectivamente. Demuestre que $\angle BPQ = \angle CPR$ .

C2 En cierta ciudad hay $n$ calles rectas, tales que cada dos calles se intersecan y no hay tres calles que pasen por la misma intersección. El Ayuntamiento quiere organizar la ciudad designando la calle principal y la calle lateral en cada intersección. Demuestre que esto puede hacerse de tal manera que, si uno recorre una de las calles de principio a fin, las intersecciones en las que esta calle es la principal y aquellas en las que no lo es aparezcan en orden alternado. Propuesto por Serbia

Demuestre que hay infinitos enteros $k\geqslant 2024$ para los cuales existe un conjunto $\{a_1,\ldots,a_k\}$ con las siguientes propiedades: $a_1{}$ es un entero positivo y $a_{i+1}=a_i+1$ para todo $1\leqslant i<k,$ y $2(a_1\cdots a_{k-2}-1)^2$ es divisible por $2(a_1+\cdots+a_k)+a_1-a_1^2.$ (Propuesto por Prajit Adhikari, Nepal)

8. Si \(p\) y \(q\) son números primos tales que \(p^{2}+pq+q^{2}\) es el cuadrado de un entero positivo, entonces encuentra el valor de \(p^{2}-pq+q^{2}\).

9. Demuestra que $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1111$ no tiene soluciones enteras.

4 Determine todos los polinomios reales $P$ de grado a lo sumo $22$ para los cuales $$kP (k + 1) - (k + 1)P (k) = k^2 + k + 1$$ para todo $k \in \{1, 2, 3, . . . , 21, 22\}$ .

10. En el cuadrilátero $ABCD$ , $BC=8$ , $CD=12$ , $AD=10$ , y $\angle A = \angle B = 60^{\circ}$ . Encuentra $AB$ . [asy] import geometry; size(200); pair A, B, C, D, E; A = (0,0); B = (21.87,0); // Basado en AB = 9 + sqrt(141) E = extension(A, A + dir(60), B, B + dir(120)); D = A + 10 * dir(60); C = B + 8 * dir(120); draw(A--B--C--D--cycle); draw(D--E--C, dashed); dot("A", A, SW); dot("B", B, SE); dot("C", C, NE); dot("D", D, NW); dot("E", E, N); label("10", (A+D)/2, NW); label("8", (B+C)/2, NE); label("12", (C+D)/2, N); [/asy]

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Las rectas $l_1$ y $l_2$ son perpendiculares a $AB$ en los puntos $A$ y $B$ , respectivamente. Las perpendiculares trazadas desde el punto medio $M$ de $AB$ a las rectas $AC$ y $BC$ intersecan a $l_1$ y $l_2$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Si $D$ es el punto de intersección de las rectas $EF$ y $MC$ , demuestre que \[\angle ADB = \angle EMF.\]