2 Sea $ABCD$ un cuadrado. Sean $N,P$ dos puntos sobre los lados $AB, AD$ , respectivamente, tales que $NP=NC$ , y sea $Q$ un punto sobre $AN$ tal que $\angle QPN = \angle NCB$ . Demuestre que \[ \angle BCQ = \dfrac{1}{2} \angle AQP .\]

3 Sean $ x,y,z $ tres números reales no negativos tales que \[x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+zx). \] Demuestre que \[\dfrac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{2xyz}.\]

1 Halle todos los enteros positivos $(m,n)$ tales que \[n^{n^{n}}=m^{m}.\]

2 Un subconjunto $S$ de números reales positivos se denomina poderoso si para cualesquiera dos elementos distintos $a, b$ de $S$ , al menos uno de $a^{b}$ o $b^{a}$ es también un elemento de $S$ . a) Dé un ejemplo de un conjunto poderoso de cuatro elementos. b) Demuestre que todo conjunto poderoso finito tiene a lo más cuatro elementos.

3 Los miembros de la sociedad «Professionous Riddlous» han sido divididos en algunos grupos, y los grupos cambian de una manera especial cada fin de semana: en cada grupo, uno de los miembros es designado como el mejor miembro, y los mejores miembros de todos los grupos se separan de su grupo anterior y forman un grupo nuevo. Si un grupo tiene un solo miembro, ese miembro se une al grupo nuevo y el grupo anterior se elimina. Suponga que la sociedad tiene $n$ miembros al principio, y todos los miembros están en un solo grupo. Demuestre que llegará una semana después de la cual el número de miembros de cada grupo será a lo más $1+\sqrt{2n}$ . Amir

1 Halle todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales $\gcd(a,b)=1$ y $\frac{a}{b}=\overline{b.a}$ . (Por ejemplo, si $a=92$ y $b=13$ , entonces $b/a=13.92$ )

2 Sea $n$ un número natural y suponga que $ w_1, w_2, \ldots , w_n$ son $n$ pesos. Llamamos al conjunto $\{ w_1, w_2, \ldots , w_n\}$ un Conjunto Perfecto si podemos obtener todos los pesos $1,2, \ldots, W$ como sumas de $ w_1, w_2, \ldots , w_n$ , donde $W=\sum_{i=1}^n w_i $ . Demuestre que si eliminamos el peso máximo de un Conjunto Perfecto, los otros pesos forman nuevamente un Conjunto Perfecto.

3 Sea $M$ el punto medio del arco (menor) $BC$ en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Suponga que la altura trazada desde $A$ interseca al círculo en $N$ . Trace dos rectas a través del circuncentro $O$ de $ABC$ paralelas a $MB$ y $MC$ , que intersecan a $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Demuestre que $NK=NL$ .

1 Sea $P$ un punto exterior al círculo $C$ . Sean $PA$ y $PB$ las tangentes al círculo trazadas desde $C$ . Elija un punto $K$ sobre $AB$ . Suponga que la circunferencia circunscrita del triángulo $PBK$ interseca a $C$ nuevamente en $T$ . Sea ${P}'$ el reflejo de $P$ con respecto a $A$ . Demuestre que \[ \angle PBT = \angle {P}'KA \]

2 Suponga una tabla $m \times n$ . Escribimos un entero en cada celda de la tabla. En cada movimiento, elegimos una columna, una fila o una diagonal (una diagonal es el conjunto de celdas para las cuales la diferencia entre su número de fila y su número de columna es constante) y sumamos $+1$ o $-1$ a todas sus celdas. Demuestre que si para toda tabla $3 \times 3$ arbitraria podemos cambiar todos los números a cero, entonces podemos cambiar todos los números de la tabla $m \times n$ a cero. ( Sugerencia : En primer lugar, piense en cómo podemos cambiar los números de una tabla $ 3 \times 3$ a cero.) War-Hammer