4 En una competencia en la que hay $16$ equipos, se juegan $55$ partidos. Demuestre que entre ellos existen $3$ equipos tales que no han jugado ningún partido entre sí.

3 Sean $a$ , $b$ y $c$ números reales positivos tales que $abc=1$ . Demuestre la desigualdad: $\frac{ab}{a^5+b^5+ab} +\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ac}{c^5+a^5+ac}\leq 1$

5 Para $0 \leq x < \frac{\pi}{2} $ demuestre la desigualdad: $a^2\tan(x)\cdot(\cos(x))^{\frac{1}{3}}+b^2\sin{x}\geq 2xab$ donde $a$ y $b$ son números reales.

5 Se da un polígono regular de $2n$ lados y centro $S$ . Considere todo cuadrilátero cuyos vértices son vértices del polígono. Sea $u$ el número de tales cuadriláteros que contienen al punto $S$ en su interior y $v$ el número de los cuadriláteros restantes. Halle $u-v$

3 Demuestre que para todo entero positivo $n$ se cumple: $(n-1)^n+2n^n \leq (n+1)^{n} \leq 2(n-1)^n+2n^{n}$

6 Se dan el triángulo $ABC$ y el paralelogramo $ASCR$ con diagonal $AC$ . Sea la recta trazada por el punto $B$ paralela a $CS$ que interseca a las rectas $AS$ y $CR$ en $M$ y $P$ , respectivamente. Sea la recta trazada por el punto $B$ paralela a $AS$ que interseca a las rectas $AR$ y $CS$ en $N$ y $Q$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $RS$ , $MN$ y $PQ$ son concurrentes

4 En el triángulo $ABC$ , $AD$ y $BE$ son alturas. Sea $L$ un punto sobre $ED$ tal que $ED$ es ortogonal a $BL$ . Si $LB^2=LD\cdot LE$ demuestre que el triángulo $ABC$ es isósceles

1 En un círculo hay puntos $A$ , $B$ y $C$ tales que dividen al círculo en la razón $3:5:7$ . Halle los ángulos del triángulo $ABC$

2 Para enteros positivos $x$ , $y$ y $z$ se cumple $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2}$ . Demuestre que $xyz\geq 3600$

3 Halle el valor máximo del entero positivo $n$ tal que existe un subconjunto de $S=\{1,2,...,2001\}$ con $n$ elementos, tal que la ecuación $y=2x$ no tiene soluciones en el conjunto $S \times S$