5 En el paralelogramo $ABCD$ , una recta que pasa por $C$ interseca a la diagonal $BD$ en $E$ y a $AB$ en $F$ . Si $F$ es el punto medio de $AB$ y el área de $\vartriangle BEC$ es $100$ , halle el área del cuadrilátero $AFED$ .

6 Determine el número de enteros positivos $N = \overline{abcd}$ , con $a, b, c, d$ cifras distintas de cero, que satisfacen $(2a -1) (2b -1) (2c- 1) (2d - 1) = 2abcd -1$ .

1. El triángulo acutángulo $ABC$ satisface $\angle{BAC}>\angle{CBA}$ . $P,Q$ se encuentran sobre $AB$ , $AC$ y $\angle{APQ}+\angle{ACB}=180^{\circ}$ . $D=BQ \cap (ABC), E=CD \cap (AQD)$ . Demuestre que $PQ=QE$ .

2. Demuestre que $n\cdot4^n+9$ no puede ser un cuadrado perfecto para ningún entero positivo $n$ .

3. La función $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$ cumple las dos condiciones. $f(1)=f(2)=1$ $f(n+2)=2\sqrt{f(n+1)+f(n)}+f(n)+1$ para todo entero positivo $n$ . Calcule $f(2026)-f(2025)$ .

7 Sea $A_k$ el número de tuplas $(a_1, a_2, ..., a_{2k})$ para $k\leq 50$ , donde $a_1, a_2, ..., a_{2k}$ son enteros positivos todos distintos que satisfacen lo siguiente. $\cdot$ $a_1, a_2, ..., a_{2k} \leq 100$ $\cdot$ Para todo número impar menor o igual que $2k-1$ , se tiene $a_i > a_{i+1}$ $\cdot$ Para todo número par menor o igual que $2k-2$ , se tiene $a_i < a_{i+1}$ Demuestre que $A_1 \leq A_2 \leq \cdots \leq A_{49}$ .

4. Para un número par n, hay 5n tarjetas que tienen escritos los números (1~5n), y los números de las tarjetas son todos distintos entre sí. Pondremos estas tarjetas, n tarjetas en cada una, en 5 cajas, que se denominan $$ B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$$ . $$ B_6=B_1, B_7=B_2$$ Definamos $x_k$ y $y_k$ de la siguiente manera (k=1 o 2 o 3 o 4 o 5) $x_k$ es el número de pares (i,j). (i<j) que cumplen que i está en $B_k$ y j está en $B_{k+1}$ , $y_k$ es el número de pares (i,j). (i<j) que cumplen que i está en $B_k$ y j está en $B_{k+2}$ Colocamos las tarjetas de modo que $ x_1=x_2=x_3=x_4=x_5, y_1=y_2=y_3=y_4=y_5$ Halle todas las sumas posibles de los números de $B_1$

5. Sean $a_1,a_2,\cdots a_{100}$ y $b_1,b_2,\cdots,b_{100}$ reordenamientos de $1,2,\cdots,100$ . Demuestre que $$\frac{1}{1+a_1+b_1}+\cdots+\frac{1}{100+a_{100}+b_{100}}>\frac{200}{303}$$

6. P está formado por n puntos del plano, y no hay tres de ellos en una misma recta. Definamos como 'triángulos solitarios' a aquellos triángulos cuyos vértices están en P. Los 'triángulos solitarios' no contienen ningún punto de P en su interior. Demuestre que el número de 'triángulos solitarios' es siempre $$ \frac{(n-1)(n-2)}{2} $$ o mayor.

7. Halle el mayor número natural $n$ para el cual existen enteros positivos $a$ y $b$ que satisfacen \[ \frac{11}{a} + \frac{13}{b} + \frac{17}{n} = 1. \]