2024.4 Un cuadrilátero $T$ con lados de longitudes $a, b, c$ y $d$ está inscrito en una circunferencia, y otra circunferencia está inscrita en $T$ , como en la figura siguiente. Halle el área de $T$ (como función de $a, b, c$ y $d$ ) . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/7/2/344cb893d5e3001b50e26fd117fc1470c055c7.png

2025.2 Sean $A_1, B_1, C_1$ tres puntos sobre los lados $B C, C A$ y $A B$ , respectivamente, del triángulo $A B C$ . Demuestre que las tres circunferencias circunscritas a los triángulos $A B_1 C_1, B C_1 A_1$ y $C A_1 B_1$ se intersecan en un punto.

5 $ ABC$ es un triángulo y $ AA'$ , $ BB'$ y $ CC'$ son las tres alturas de este triángulo . Sea $ P$ el pie de la perpendicular trazada desde $ C'$ a $ A'B'$ , y $ Q$ un punto en $ A'B'$ tal que $ QA = QB$ . Demuestre que : $ \angle PBQ = \angle PAQ = \angle PC'C$

1 Se da un grafo completo con pesos, con pesos positivos distintos, tal que en todo triángulo este es degenerado, es decir, el peso de una arista es igual a la suma de los otros dos. Demuestre que se pueden asignar valores a los vértices de este grafo tales que el peso de cada arista sea la diferencia entre los dos valores asignados a sus extremos. Propuesto por Morteza Saghafian

1 Morteza tiene $100$ conjuntos. En cada paso, Mahdi puede elegir dos conjuntos distintos de entre ellos y Morteza le dice la intersección y la unión de esos dos conjuntos. Halle el menor número de pasos con los que Mahdi puede encontrar todos los conjuntos. Propuesto por Morteza Saghafian

2 Para un entero positivo $n$ , sean $\tau(n)$ y $\sigma(n)$ el número de divisores positivos de $n$ y la suma de los divisores positivos de $n$ , respectivamente. Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $\sigma(a^n)$ divide a $\sigma(b^n)$ para todo $n\in \mathbb{N}$ . Demuestre que todo factor primo de $\tau(a)$ divide a $\tau(b)$ . Propuesto por MohammadAmin Sharifi

3 La circunferencia inscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $CB$ y $CA$ en $D$ y $E$ , respectivamente. El punto $X$ es la reflexión de $D$ con respecto a $B$ . Suponga que la recta $DE$ es tangente a la $A$ -circunferencia exinscrita en $Z$ . Sea la circunferencia circunscrita del triángulo $XZE$ la cual interseca a $\omega$ por segunda vez en $K$ . Demuestre que la intersección de $BK$ y $AZ$ está sobre $\omega$ . Propuesto por Mahdi Etesamifard y Alireza Dadgarnia

4 Se da un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con circuncentro $O$ . El punto $P$ es la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AD$ y $BC$ , respectivamente. Suponga que $\omega_1$ , $\omega_2$ y $\omega_3$ son las circunferencias circunscritas de los triángulos $ADP$ , $BCP$ y $OMN$ , respectivamente. El punto de intersección de $\omega_1$ y $\omega_3$ que no está sobre el arco $APD$ de $\omega_1$ es $E$ , y el punto de intersección de $\omega_2$ y $\omega_3$ que no está sobre el arco $BPC$ de $\omega_2$ es $F$ . Demuestre que $OF=OE$ . Propuesto por Seyed Amirparsa Hosseini Nayeri

5 Halle todos los $C\in \mathbb{R}$ tales que toda sucesión de enteros $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ que esté acotada inferiormente y que para todo $n\geq 2$ satisfaga $$0\leq a_{n-1}+Ca_n+a_{n+1}<1$$ sea periódica. Propuesto por Navid Safaei

g4.1.2 Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$. Una circunferencia que pasa por $B$ y $C$ interseca los lados $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente. Se elige un punto $F$ sobre esta circunferencia tal que $EF \perp BC$. Si $BC = x$, $CF = y$, y $BF = z$, encuentra la longitud de $DF$ en términos de $x, y, z$.