2 Se da un semicírculo con punto medio $O$ y diámetro $AB$ . Sea $Z$ un punto arbitrario en el interior del semicírculo, sea $X$ la intersección de $OZ$ con el semicírculo e $Y$ la intersección de $AZ$ con el semicírculo. Si $P$ es la intersección de $BY$ con la recta tangente al semicírculo en $X$ , demuestre que $PZ \perp BX$ .

2 Sea $\triangle ABC$ un triángulo equilátero y sea $P$ un punto sobre $\left[AB\right]$ . $Q$ es el punto sobre $BC$ tal que $PQ$ es perpendicular a $AB$ . $R$ es el punto sobre $AC$ tal que $QR$ es perpendicular a $BC$ . Y $S$ es el punto sobre $AB$ tal que $RS$ es perpendicular a $AC$ . $Q'$ es el punto sobre $BC$ tal que $PQ'$ es perpendicular a $BC$ . $R'$ es el punto sobre $AC$ tal que $Q'R'$ es perpendicular a $AC$ . Y $S'$ es el punto sobre $AB$ tal que $R'S'$ es perpendicular a $AB$ . Determine $\frac{|PB|}{|AB|}$ si $S=S'$ . Kurt Gödel

4 Cada celda de una colmena está construida a partir de un prisma recto regular de 6 lados, abierto en la parte inferior y cerrado en la parte superior por un manto piramidal regular de 3 lados. Las aristas de esta pirámide están conectadas a tres de las aristas verticales del prisma y su vértice $T$ se encuentra sobre la recta perpendicular que pasa por el centro $O$ de la base del prisma (véase la figura). Sea $s$ el lado de la base, $h$ la altura de la celda y $\theta$ el ángulo entre la recta $TO$ y $TV$ . (a) Demuestre que la superficie de la celda consta de 6 trapecios congruentes y 3 rombos congruentes. (b) El área total de la superficie de la celda está dada por la fórmula $6sh - \dfrac{9s^2}{2\tan\theta} + \dfrac{s^2 3\sqrt{3}}{2\sin\theta}$ https://3.bp.blogspot.com/-ClTmCPYxbyw/XWur8lMf0zI/AAAAAAAAKoY/Xpkj4HewB0kFTUdKmV3jPH420XU-UJqWwCK4BGAYYCw/s1600/2004%2Bflanders%2Bp4.png

1 El fútbol de 3 se juega de la siguiente manera: 2 jugadores de campo intentan marcar un gol al portero; el que marca el gol es portero en el siguiente juego, etc. Arne, Bart y Cauchy jugaron este juego. Más tarde, le dicen a su profesor de matemáticas que A estuvo 12 veces en el campo, B 21 veces en el campo y C 8 veces en la portería. Su profesor sabe quién marcó el sexto gol. ¿Quién lo marcó?

2 Dos círculos $C_1$ y $C_2$ se intersecan en $S$ . La tangente a $C_1$ en $S$ interseca a $C_2$ en $A$ , distinto de $S$ . La tangente a $C_2$ en $S$ interseca a $C_1$ en $B$ , distinto de $S$ . Otro círculo $C_3$ pasa por $A, B, S$ . La tangente a $C_3$ en $S$ interseca a $C_1$ en $P$ , distinto de $S$ , y a $C_2$ en $Q$ , distinto de $S$ . Demuestre que la distancia $PS$ es igual a la distancia $QS$ .

4 Considere todos los puntos de coordenadas enteras en el plano cartesiano. Si se traza un círculo con centro M(0,0) y un radio r bien elegido, el círculo pasa por algunos de esos puntos (por ejemplo, el círculo con $r=2\sqrt2$ pasa por 4 puntos). Demuestre que $\forall n\in \mathbb{N}, \exists r$ tal que el círculo con centro 0,0 y radio $r$ pasa por al menos $n$ puntos.

1 ¿Es posible numerar los $8$ vértices de un cubo del $1$ al $8$ de manera que la suma en cada arista sea diferente?

2 Determine todas las funciones $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que $\forall x: x\cdot f(\frac x2) - f(\frac2x) = 1$

3 Demuestre que $\frac1{15} < \frac12\cdot\frac34\cdots\frac{99}{100} < \frac1{10}$

4 Una lámpara está situada en el punto $A$ e ilumina el interior del cubo. Un cuadrado (macizo) está suspendido en los puntos medios de las $4$ caras verticales. ¿Cuál es el área de su sombra? https://1.bp.blogspot.com/-D67kYgxTSWw/XWuvNu1hEeI/AAAAAAAAKo4/N_RYf9T-U6E5_fNsOW2t0K4b6KIa-XHfACK4BGAYYCw/s400/2002%2Bflanders%2Bp4.png