3 Sean $a$ y $b$ números naturales con $a > b$ y de la misma paridad. Demuestra que las soluciones de la ecuación \[ x^2 - (a^2 - a + 1)(x - b^2 - 1) - (b^2 + 1)^2 = 0 \] son números naturales, ninguno de los cuales es un cuadrado perfecto. Albania Valentin

Sea $n$ un entero positivo y $\mathcal S$ el conjunto de puntos $(x, y)$ con $x, y \in \{1, 2, \ldots , n\}$. Sea $\mathcal T$ el conjunto de todos los cuadrados con vértices en el conjunto $\mathcal S$. Denotamos por $a_k$ ($k \geq 0$) el número de pares (no ordenados) de puntos para los cuales hay exactamente $k$ cuadrados en $\mathcal T$ que tienen estos dos puntos como vértices. Demuestra que $a_0 = a_2 + 2a_3$. Yugoslavia Valentin

1 Demuestra que no existen números enteros positivos $x,y,z$ tales que $x^2+y^2=3z^2$. José

4 Demuestra que entre $20$ enteros positivos consecutivos existe un entero $d$ tal que para todo entero positivo $n$ se cumple la siguiente desigualdad $$n \sqrt{d} \left\{n \sqrt {d} \right \} > \dfrac{5}{2}$$ donde $\left \{x \right \}$ denota la parte fraccionaria del número real $x$ . La parte fraccionaria del número real $x$ se define como la diferencia entre el mayor entero que es menor o igual que $x$ y el número real $x$ . (Serbia)

2 Sea $\triangle{ABC}$ un triángulo escaleno con incentro $I$ y circunferencia circunscrita $\omega$. Las rectas $AI, BI, CI$ cortan a $\omega$ por segunda vez en los puntos $D, E, F$, respectivamente. Las paralelas trazadas desde $I$ a los lados $BC, AC, AB$ cortan a $EF, DF, DE$ en los puntos $K, L, M$, respectivamente. Demuestra que los puntos $K, L, M$ son colineales. (Chipre)

Sean \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 \) números reales que satisfacen las siguientes ecuaciones: \[ \frac{a_1}{k^2+1}+\frac{a_2}{k^2+2}+\frac{a_3}{k^2+3}+\frac{a_4}{k^2+4}+\frac{a_5}{k^2+5} = \frac{1}{k^2} \] para \( k = 1, 2, 3, 4, 5 \). Encuentra el valor de \[ \frac{a_1}{37}+\frac{a_2}{38}+\frac{a_3}{39}+\frac{a_4}{40}+\frac{a_5}{41} \] (Expresa el valor como una sola fracción.)

3 Sean tres círculos \( \Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3\), no superpuestos y mutuamente externos, dados en el plano. Para cada punto \( P\) en el plano, fuera de los tres círculos, construye seis puntos \( A_1, B_1, A_2, B_2, A_3, B_3\) de la siguiente manera: Para cada \( i = 1, 2, 3\), \( A_i, B_i\) son puntos distintos en el círculo \( \Gamma_i\) tales que las rectas \( PA_i\) y \( PB_i\) son ambas tangentes a \( \Gamma_i\). Llama al punto \( P\) excepcional si, a partir de la construcción, las tres rectas \( A_1B_1, A_2 B_2, A_3 B_3\) son concurrentes. Muestra que todo punto excepcional del plano, si existe, se encuentra en el mismo círculo.

4 Demuestra que para cualquier entero positivo $ k$ , existe una sucesión aritmética $ \frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \frac{a_3}{b_3}, ... ,\frac{a_k}{b_k}$ de números racionales, donde $ a_i, b_i$ son enteros positivos primos relativos para cada $ i = 1,2,...,k$ tal que los enteros positivos $ a_1, b_1, a_2, b_2, ..., a_k, b_k$ son todos distintos.

3 Un comité de $3366$ críticos de cine está votando para los Oscar. Cada crítico votó por un solo actor y por una sola actriz. Después de la votación, se encontró que para todo entero positivo $n \in \left \{1, 2, \ldots, 100 \right \}$, hay algún actor o alguna actriz que fue votado exactamente $n$ veces. Demuestra que hay dos críticos que votaron por el mismo actor y la misma actriz. (Chipre)

1 Si ${a, b}$ y $c$ son números reales positivos, demuestra que \begin{align*} a ^ 3b ^ 6 + b ^ 3c ^ 6 + c ^ 3a ^ 6 + 3a ^ 3b ^ 3c ^ 3 &\ge{ abc \left (a ^ 3b ^ 3 + b ^ 3c ^ 3 + c ^ 3a ^ 3 \right) + a ^ 2b ^ 2c ^ 2 \left (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 \right)}. \end{align*} (Montenegro).