Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB=5$ , $AD=17$ y $CD=6$ . Si la bisectriz del ángulo $\angle{BAD}$ y la bisectriz del ángulo $\angle{ADC}$ se intersectan en el punto medio de $BC$ , halle el área de $ABCD$ .

Un punto $P$ está en el interior de un triángulo equilátero $ABC$ tal que $AP=15$ y $BP=8$ . Halle el máximo valor posible de la suma de las áreas de los triángulos $ABP$ y $BCP$ .

Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que si $p$ es un primo y divide a $5^{4n}-5^{3n}+5^{2n}-5^{n}+1$ , entonces $p\equiv 1 \;(\bmod\; 4)$ .

Mandy necesita despertarse temprano para asistir a un concurso de matemáticas. Ha programado una alarma en su teléfono inteligente cada 15 minutos desde las 5:30 am. Si una alarma no es apagada por ella o por su madre (o por cualquier otra cosa), sonará durante un rato, se detendrá durante un rato y luego volverá a sonar 9 minutos más tarde como el primer timbre, y así sucesivamente (por ejemplo, si la primera alarma no se apaga, volverá a sonar a las 5:39 am). Además, cada alarma funciona de manera independiente. Suponga ahora que cada tono de timbre dura $x$ minutos y que el teléfono inteligente ha sonado finalmente durante 50 minutos antes de que Mandy se despierte a las 6:30 am (suponga que nadie ha apagado ninguna alarma antes de eso). Halle el valor de $x$ .

6 Para cada número primo $p$ , determine el número de clases de residuos módulo $p$ que pueden representarse como $a^2+b^2$ módulo $p$ , donde $a$ y $b$ son enteros arbitrarios. (Daniel Holmes)

5 Sea $n$ un entero positivo y sean $z_1,z_2,\dots,z_n$ enteros positivos tales que para $j=1,2,\dots,n$ se cumplen las desigualdades $z_j \le j$ y $z_1+z_2+\dots+z_n$ es par. Demuestre que el número $0$ aparece entre los valores \[z_1 \pm z_2 \pm \dots \pm z_n,\] donde se puede elegir $+$ o $-$ de manera independiente para cada operación. (Walther Janous)

4 Sea $ABC$ un triángulo obtusángulo con ortocentro $H$ y baricentro $S$ . Sean $D$ , $E$ y $F$ los puntos medios de los segmentos $BC$ , $AC$ , $AB$ , respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ , la circunferencia circunscrita del triángulo $DEF$ y la circunferencia con diámetro $HS$ tienen dos puntos distintos en común. (Josef Greilhuber)

3 Inicialmente, los números $1, 2, \dots, 2024$ están escritos en un pizarrón. Trixi y Nana juegan un juego, turnándose por turnos alternados. Trixi juega primero. El jugador al que le toca elige dos números $a$ y $b$ , borra ambos y escribe en el pizarrón su diferencia $a-b$ (posiblemente negativa). Esto se repite hasta que solo queda un número en el pizarrón después de $2023$ movimientos. Trixi gana si este número es divisible por $3$ ; de lo contrario, gana Nana. ¿Cuál de las dos tiene una estrategia ganadora? (Birgit Vera Schmidt)

N6 $a,b,c$ son enteros no negativos. Resuelva: $a!+5^b=7^c$ Propuesto por Serbia

3 Sea $ABC$ un triángulo y $D \in AB$ , $E \in AC$ tales que $DE//BC$ . Sean $K,L$ las segundas intersecciones de $(ABC)$ con $(BDE)$ y $(CDE)$ , respectivamente. $BK$ y $CL$ se intersecan en $T$ . Demuestre que $TA$ es tangente a $(ABC)$