A5 Si $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$ son matrices cuadradas del mismo tamaño tales que $\mathbf{ABAB}=\mathbf{0}$, ¿se sigue que $\mathbf{BABA}=\mathbf{0}$?

A6 Si $X$ es un conjunto finito, sea $|X|$ el número de elementos de $X$. Llamamos a un par ordenado $(S,T)$ de subconjuntos de $\{1, 2, \cdots, n\}$ *admisible* si $s > |T|$ para cada $s \in S$, y $t > |S|$ para cada $t \in T$. ¿Cuántos pares ordenados admisibles de subconjuntos de $\{1, 2, \cdots, 10\}$ hay? Demuestra tu respuesta.

B1 Encuentra todas las funciones reales continuamente diferenciables $f$ en la recta real tales que para todo $x$, \[ \left( f(x) \right)^2 = \displaystyle\int_0^x \left[ \left( f(t) \right)^2 + \left( f'(t) \right)^2 \right] \, \mathrm{d}t + 1990. \]

B2 Demuestra que para $ |x| < 1 $ , $ |z| > 1 $ , \[ 1 + \displaystyle\sum_{j=1}^{\infty} \left( 1 + x^j \right) P_j = 0, \] donde $P_j$ es \[ \dfrac {(1-z)(1-zx)(1-zx^2) \cdots (1-zx^{j-1})}{(z-x)(z-x^2)(z-x^3)\cdots(z-x^j)}. \]

B2 Sea $S$ un conjunto no vacío con una operación asociativa que es cancelativa por la izquierda y por la derecha ( $xy=xz$ implica $y=z$ , y $yx=zx$ implica $y=z$ ). Supón que para cada $a$ en $S$ el conjunto $\{a^n\mid n=0,1,2,\ldots\}$ es finito. ¿Debe $S$ ser un grupo?

A5 Demuestra que podemos encontrar $\alpha>0$ tal que, dado cualquier punto $P$ dentro de un $2n+1$-ágono regular inscrito en un círculo de radio $1$, podemos encontrar dos vértices del polígono cuyas distancias desde $P$ difieran en menos de $\frac1n-\frac\alpha{n^3}$.

A6 Sea $\alpha=1+a_1x+a_2x^2+\ldots$ una serie formal de potencias con coeficientes en el campo de dos elementos. Sea $$a_n=\begin{cases}1&\text{si todo bloque de ceros en la expansión binaria de }n\text{ tiene un número par de ceros}\\0&\text{en caso contrario}\end{cases}$$ (Por ejemplo, $a_{36}=1$ ya que $36=100100_2$). Demuestra que $\alpha^3+x\alpha+1=0$.

A1 ¿Cuántos enteros en base diez de la forma 1010101...101 son primos?

B4 Sea $G$ un grupo finito de orden $n$ generado por $a$ y $b$. Prueba o refuta: existe una sucesión \[ g_1, g_2, g_3, \cdots, g_{2n} \] tal que: $(1)$ cada elemento de $G$ aparece exactamente dos veces, y $(2)$ $g_{i+1}$ es igual a $g_{i}a$ o $g_ib$ para $ i = 1, 2, \cdots, 2n $. (interpreta $g_{2n+1}$ como $g_1$.)

A2 Evalúa $\int^{a}_{0}{\int^{b}_{0}{e^{max(b^{2}x^{2},a^{2}y^{2})}dy dx}}$