4 Un matemático caprichoso escribe un libro con páginas numeradas del $2$ al $400$ . Las páginas deben leerse en el siguiente orden. Tome la última página no leída ( $400$ ) y luego lea (en el orden usual) todas las páginas que no son primas relativas con ella y que no hayan sido leídas antes. Repita hasta que todas las páginas hayan sido leídas. Así, el orden sería $2, 4, 5, ... , 400, 3, 7, 9, ... , 399, ...$ . ¿Cuál es la última página que se lee?

3 $ABCD$ es un paralelogramo. Tome $E$ sobre la recta $AB$ de modo que $BE = BC$ y $B$ quede entre $A$ y $E$ . Sean la recta que pasa por $C$ perpendicular a $BD$ y la recta que pasa por $E$ perpendicular a $AB$ ; estas se cortan en $F$ . Demuestre que $\angle DAF = \angle BAF$ .

2 Los $12$ números de la esfera de un reloj se reordenan. Demuestre que aún podemos encontrar tres números adyacentes cuya suma sea $21$ o más.

1 La sucesión $1, 2, 4, 5, 7, 9 ,10, 12, 14, 16, 17, ... $ se forma como sigue. Primero tomamos un número impar, luego dos números pares, luego tres números impares, luego cuatro números pares, y así sucesivamente. Halle el número de la sucesión más cercano a $1994$ .

6 Un $1$ o un $0$ se coloca en cada casilla de un tablero de $4 \times 4$ . Se permite cambiar todos los símbolos de una fila, o cambiar todos los símbolos de una columna, o cambiar todos los símbolos de una diagonal (hay $14$ diagonales de longitudes $1$ a $4$ ) . ¿Para qué arreglos pueden hacerse cambios que terminen con todos los $0$ s ?

5 $ABCDE$ es un pentágono convexo tal que los triángulos $ABC, BCD, CDE, DEA$ y $EAB$ tienen áreas iguales. Demuestre que $(1/4)$ área $(ABCDE) <$ área $(ABC) < (1/3)$ área $(ABCDE)$ .

4 Halle $26$ elementos de $\{1, 2, 3, ... , 40\}$ tales que el producto de dos de ellos nunca sea un cuadrado. Demuestre que no se pueden encontrar $27$ elementos de este tipo.

3 $A, B, C, D$ son vértices consecutivos de un polígono regular de $7$ lados. $AL$ y $AM$ son tangentes a la circunferencia de centro $C$ y radio $CB$ . $N$ es el punto de intersección de $AC$ y $BD$ . Demuestre que $L, M, N$ son colineales.

2 Considere 6 puntos en un plano tales que 8 de las distancias entre ellos son iguales a 1. Demuestre que hay al menos 3 puntos que forman un triángulo equilátero.

1 $N$ estudiantes están sentados en pupitres dispuestos en un arreglo de $m \times n$ , donde $m, n \ge 3$ . Cada estudiante da la mano a los estudiantes que están adyacentes horizontal, vertical o diagonalmente. Si hay $1020 $ apretones de manos, ¿cuánto vale $N$ ?