Tenemos que $(a+b)^3=216$, donde $a$ y $b$ son enteros positivos tales que $a>b$. ¿Cuáles son los posibles valores de $a^2-b^2$?

5 Camila crea un patrón para escribir los siguientes números: $2, 4$ $5, 7, 9, 11$ $12, 14, 16, 18, 20, 22$ $23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37$ $…$ Siguiendo el mismo patrón, ¿cuál es la suma de los números en la décima fila?

1 Encuentra el número de múltiplos de $4$ que se pueden formar usando exactamente una vez cada uno de los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6$ y $7$.

2 Encuentra todas las soluciones reales: $$\begin{cases}a^3=2024bc \\ b^3=2024cd \\ c^3=2024da \\ d^3=2024ab \end{cases}$$

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Sea $E$ el reflejo de $D$ con respecto a $AC$. Sea $F$ la intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ y $AD$, distinta de $A$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$. Demuestra que los triángulos $FBH$ y $DAE$ son semejantes.

3 Tadeo dibuja el rectángulo con el mayor perímetro que se puede dividir en $2015$ cuadrados de lado $1$ $cm$ y el rectángulo con el menor perímetro que se puede dividir en $2015$ cuadrados de lado $1$ $cm$. ¿Cuál es la diferencia entre los perímetros de los rectángulos que dibujó Tadeo?

1 Se da un triángulo $ABC$ con ortocentro $H$ . $P$ es un punto variable sobre la recta $BC$ . La perpendicular a $BC$ que pasa por $P$ corta a $BH$ , $CH$ en $X$ , $Y$ respectivamente. La recta que pasa por $H$ paralela a $BC$ corta a $AP$ en $Q$ . Las rectas $QX$ y $QY$ cortan a $BC$ en $U$ , $V$ respectivamente. Halle la forma del lugar geométrico de los incentros de los triángulos $QUV$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . Demuestre que existe una recta $l$ que es paralela a $BC$ y tangente a las circunferencias inscritas de $ABH$ y $ACH$ .

1 Sean $a,b,c$ números positivos que satisfacen $ab+bc+ca+2abc=1$ . Demuestre que $4a+b+c \geq 2$ .

2 Rothschild el benefactor tiene cierta cantidad de monedas. Un hombre llega, y Rothschild quiere compartir sus monedas con él. Si tiene un número par de monedas, le da la mitad de ellas al hombre y se va. Si tiene un número impar de monedas, dona una moneda a la caridad para poder tener un número par de monedas, pero mientras tanto llega otro hombre. Así que ahora tiene que compartir sus monedas con otras dos personas. Si es posible hacerlo en partes iguales, lo hace y se va. De lo contrario, dona de nuevo algunas monedas a la caridad (no más de 3). Mientras tanto, llega otro hombre más. Esto continúa hasta que Rothschild pueda dividir sus monedas en partes iguales o hasta que se quede sin dinero. ¿Existe un número natural $N$ tal que si Rothschild tiene al menos $N$ monedas al principio, terminará con al menos una moneda?