5 $ABCD$ es un cuadrilátero, y $E, F, G, H$ son los puntos medios de $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ respectivamente. Halle el punto $P$ tal que área $(PHAE) =$ área $(PEBF) =$ área $(PFCG) =$ área $(PGDH).$

6 $N$ denota el conjunto de todos los números naturales. Defina una función $T: N \to N$ tal que $T (2k) = k$ y $T (2k + 1) = 2k + 2$ . Escribimos $T^2 (n) = T (T (n))$ y, en general, $T^k (n) = T^{k-1} (T (n))$ para todo $k> 1$ . (a) Demuestre que para todo $n \in N$ existe $k$ tal que $T^k (n) = 1$ . (b) Para $k \in N$ , $c_k$ denota el número de elementos del conjunto $\{n: T^k (n) = 1\}$ . Demuestre que $c_{k + 2} = c_{k + 1} + c_k$ , para $1 \le k$ .

1 Una sucesión de números naturales se escribe según la siguiente regla: se eligen los dos primeros números y, a partir de entonces, para escribir un nuevo número se calcula la suma de los dos últimos números escritos, se halla el mayor divisor impar de su suma, y la suma de este mayor divisor impar más uno es el siguiente número escrito. Los primeros números son $25$ y $126$ (en ese orden), y la sucesión tiene $2015$ números. Halle el último número escrito.

2 En el triángulo $ABC$ , sean $P$ , $Q$ y $R$ puntos sobre los lados $BC$ , $AC$ y $AB$ respectivamente, tales que $AQ = AR$ , $BP = BR$ y $CP = CQ$ . Sean $\angle PQR=75^o$ y $\angle PRQ=35^o$ . Calcule las medidas de los ángulos del triángulo $ABC$ .

3 Sea $f$ un polinomio cuadrático con coeficientes enteros. Además, $f (k)$ es divisible por $5$ para todo entero $k$ . Demuestre que los coeficientes del polinomio $f$ son todos divisibles por $5$ .

4 Sea $n$ un entero positivo. Halle el mayor número posible de ceros como últimas cifras de la siguiente expresión: $1^n + 2^n + 3^n + 4^n$ .

5 Cada número del conjunto $\{1,2, 3,4,5,6, 7,8\}$ se colorea de rojo o de azul, siguiendo las siguientes reglas: (a) el número $4$ se colorea de rojo, y hay al menos un número azul; (b) si dos números $x,y$ tienen colores diferentes y $x + y \le 8$ , entonces el número $x + y$ se colorea de azul; (c) si dos números $x,y$ tienen colores diferentes y $x \cdot y \le 8$ , entonces el número $x \cdot y$ se colorea de rojo. Halle todas las maneras posibles de colorear este conjunto.

6 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que $7^n + 147$ es un cuadrado perfecto.

7 Sea $ABCD$ un rectángulo con lados $AB = 4$ y $BC = 3$ . La perpendicular a la diagonal $BD$ trazada desde $ A$ interseca a $BD$ en el punto $H$ . Denotamos por $M$ el punto medio de $BH$ y por $N$ el punto medio de $CD$ . Calcule la longitud del segmento $MN$ .

8 Considere los $2015$ enteros $n$ , desde $ 1$ hasta $2015$ . Determine para cuántos valores de $n$ se verifica que el número $n^3 + 3^n$ es múltiplo de $5$ .