68 En un grupo de $n$ personas, cada una conoce exactamente a otras tres. Se sientan alrededor de una mesa. Decimos que la disposición es $perfecta$ si cada persona conoce a las dos que están sentadas a sus lados. Demuestra que, si existe una disposición perfecta $S$ para el grupo, entonces siempre hay otra disposición perfecta que no se puede obtener de $S$ por rotación o reflexión.

66 Sea $C$ un cubo con aristas de longitud 2. Construye un sólido de catorce caras cortando las ocho esquinas de $C$, manteniendo las nuevas caras perpendiculares a las diagonales del cubo, y manteniendo las caras recién formadas idénticas. Si al final de este proceso las catorce caras tienen la misma área, encuentra el área de cada cara del nuevo sólido.

67 Para cada entero positivo $ k$ y $ n,$ sea $ S_k(n)$ la suma de los dígitos de $ n$ en base $ k.$ Demuestra que hay a lo más dos primos $ p$ menores que $20,000$ para los cuales $ S_{31}(p)$ son números compuestos con al menos dos divisores primos distintos.

5 Para cualquier número real $x$, encuentra $f(2001.514)$ si \[f(x)+f(x+1)=\sqrt{2}\cdot f\left(\dfrac{2x+1}{2}\right)\text{ y }f(1989.514)=25,\]

9 Sean $x_1,x_2,...,x_n \in [0;1]$ ; demuestre que $x_1(1-x_2)+x_2(1-x_3)+...+x_{n-1}(1-x_n)+x_n(1-x_1) \leq [\frac{n}{2}]$ Ovchinnikov

La sucesión de Fibonacci está definida por \[ a_{n+1} = a_n + a_{n-1}, n \geq 1, a_0 = 0, a_1 = a_2 = 1. \] Encuentra el máximo común divisor de los términos 1960-ésimo y 1988-ésimo de la sucesión de Fibonacci.

64 Encuentra todos los enteros positivos $x$ tales que el producto de todos los dígitos de $x$ está dado por $x^2 - 10 \cdot x - 22.$

Un número entero positivo se llama número doble si su representación decimal consiste en un bloque de dígitos, que no comienza con 0, seguido inmediatamente por un bloque idéntico. Así, por ejemplo, 360360 es un número doble, pero 36036 no lo es. Demuestra que hay infinitos números dobles que son cuadrados perfectos.

77 Una función $ f$ definida sobre los enteros positivos (y que toma valores enteros positivos) está dada por: $ \begin{matrix} f(1) = 1, f(3) = 3 \\ f(2 \cdot n) = f(n) \\ f(4 \cdot n + 1) = 2 \cdot f(2 \cdot n + 1) - f(n) \\ f(4 \cdot n + 3) = 3 \cdot f(2 \cdot n + 1) - 2 \cdot f(n), \end{matrix}$ para todos los enteros positivos $ n.$ Determina con demostración el número de enteros positivos $ \leq 1988$ para los cuales $ f(n) = n.$

78 Se propone particionar un conjunto de enteros positivos en dos subconjuntos disjuntos $ A$ y $ B$ sujeto a las condiciones i.) 1 está en $ A$ ii.) no hay dos miembros distintos de $ A$ cuya suma sea de la forma $ 2^k + 2, k = 0,1,2, \ldots;$ y iii.) no hay dos miembros distintos de $ B$ cuya suma sea de esa forma. Demuestra que esta partición se puede realizar de manera única y determina a cuáles subconjuntos pertenecen 1987, 1988 y 1989.