4 Dado el triángulo $ABC$ , se construyen exteriormente los cuadrados $ABEF, BCGH, CAIJ$ sobre los lados $AB, BC, CA$ , respectivamente. Sean $AH \cap BJ = P_1$ , $BJ \cap CF = Q_1$ , $CF \cap AH = R_1$ , $AG \cap CE = P_2$ , $BI \cap AG = Q_2$ , $CE \cap BI = R_2$ . Demuestre que el triángulo $P_1 Q_1 R_1$ es congruente con el triángulo $P_2 Q_2 R_2$ .

1 Un triángulo de lados $\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}, \sqrt{2}$ se dobla a lo largo de una recta variable perpendicular al lado de $\frac{3}{2}.$ Halle el valor máximo del área coincidente.

4 Hay 7 puntos arbitrarios en el plano. Se trazan circunferencias por cada 4 puntos concíclicos posibles. Halle el número máximo de circunferencias que se pueden trazar.

1 Sea $ABCDE$ un pentágono inscrito en una circunferencia $(O)$ . Sea $ BE \cap AD = T$ . Suponga que la recta paralela a $CD$ que pasa por $T$ corta a $AB,CE$ en $X,Y$ . Si $\omega$ es la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$ , demuestre que $\omega$ es tangente a $(O)$ . War-Hammer

3 Se da un polígono $\prod$ en el plano $OXY$ y su área excede a $n.$ Demuestre que existen $n+1$ puntos $P_{1}(x_1, y_1), P_{2}(x_2, y_2), \ldots, P_{n+1}(x_{n+1}, y_{n+1})$ en $\prod$ tales que $\forall i,j \in \{1, 2, \ldots, n+1\}$ , $x_j - x_i$ y $y_j - y_i$ son todos enteros.

4 Hay una computadora averiada en la que solo están reservados tres datos primitivos $c$ , $1$ y $-1$ . La única operación permitida toma $u$ y $v$ y devuelve $u \cdot v + v.$ Al principio, $u,v \in \{c, 1, -1\}.$ Después, además de $\{c, 1, -1\}$ , también puede tomar el valor del paso anterior (solo un paso atrás). Demuestre que para cualquier polinomio $P_{n}(x) = a_0 \cdot x^n + a_1 \cdot x^{n-1} + \ldots + a_n$ con coeficientes enteros, el valor de $P_n(c)$ puede calcularse con esta computadora tras un número finito de operaciones.

1 a.) Para todo entero positivo $k$ halle el menor entero positivo $f(k)$ tal que existen $5$ conjuntos $s_1,s_2, \ldots , s_5$ que satisfacen: i. cada uno tiene $k$ elementos; ii. $s_i$ y $s_{i+1}$ son disjuntos para $i=1,2,...,5$ ( $s_6=s_1$ ) iii. la unión de los $5$ conjuntos tiene exactamente $f(k)$ elementos. b.) Generalización: Considere $n \geq 3$ conjuntos en lugar de $5$ .

2 Se da un polígono reticular cerrado de 100 lados (que puede ser cóncavo) tal que sus vértices tienen coordenadas enteras, sus lados son paralelos a los ejes y todos sus lados tienen longitud impar. Demuestre que su área es impar.

1 Sea $f(x) = 3x + 2.$ Demuestre que existe $m \in \mathbb{N}$ tal que $f^{100}(m)$ es divisible por $1988$ .

2 Halle todas las funciones $f: \mathbb{Q} \mapsto \mathbb{C}$ que satisfacen (i) Para cualesquiera $x_1, x_2, \ldots, x_{1988} \in \mathbb{Q}$ , $f(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{1988}) = f(x_1)f(x_2) \ldots f(x_{1988})$ . (ii) $\overline{f(1988)}f(x) = f(1988)\overline{f(x)}$ para todo $x \in \mathbb{Q}$ .