23 Sea $E$ un conjunto finito, $P_E$ la familia de sus subconjuntos, y $f$ una aplicación de $P_E$ al conjunto de los reales no negativos, tal que para cualesquiera dos subconjuntos disjuntos $A,B$ de $E$, se cumple $f(A\cup B)=f(A)+f(B)$. Demuestra que existe un subconjunto $F$ de $E$ tal que si con cada $A \subset E$ asociamos un subconjunto $A'$ formado por los elementos de $A$ que no están en $F$, entonces $f(A)=f(A')$ y $f(A)$ es cero si y solo si $A$ es un subconjunto de $F$.

1 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A=90^o$ y $AB<AC$. Sean $AH,AD,AM$ la altura, la bisectriz del ángulo y la mediana respectivamente. Demuestre que $\frac{BD}{CD}<\frac{HD}{MD}.$

22 En el triángulo $ABC$, sean $B'$ y $C'$ los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$ respectivamente, y $H$ el pie de la altura que pasa por el vértice $A$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AB'C'$, $BC'H$ y $B'CH$ tienen un punto común $I$, y que la recta $HI$ pasa por el punto medio del segmento $B'C'$. Amir

21 En el triángulo $ABC$, sean $B'$ y $C'$ los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$ respectivamente, y $H$ el pie de la altura que pasa por el vértice $A$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AB'C'$, $BC'H$ y $B'CH$ tienen un punto común $I$ y que la recta $HI$ pasa por el punto medio del segmento $B'C'$. Amir

13. Cada lado de un triángulo arbitrario $\triangle ABC$ se divide en partes iguales, y se trazan líneas paralelas a $AB,BC,CA$ a través de cada uno de estos puntos, cortando así a $\triangle ABC$ en triángulos pequeños. A los puntos se les asigna un número de la siguiente manera: $(1)$ $A,B,C$ reciben $1,2,3$ respectivamente $(2)$ Los puntos sobre $AB$ reciben $1$ o $2$ $(3)$ Los puntos sobre $BC$ reciben $2$ o $3$ $(4)$ Los puntos sobre $CA$ reciben $3$ o $1$ Demuestra que debe existir un triángulo pequeño cuyos vértices estén marcados con $1,2,3$.

2 Se tienen $n$ círculos distintos (con el mismo radio) tales que para cualesquiera $k+1$ círculos hay (al menos) dos círculos que se intersectan en dos puntos. Demuestra que para cada recta $l$ se pueden trazar $k$ rectas, cada una paralela a $l$, tales que cada círculo tiene (al menos) un punto de intersección con alguna de estas rectas.

3 Demuestra que existen infinitos pares de enteros positivos $(m,n)$, con $m<n$, tales que $m$ divide a $n^{2016}+n^{2015}+\dots+n^2+n+1$ y $n$ divide a $m^{2016}+m^{2015}+\dots+m^2+m+1$.

Sean \(ABCD\) y \(A'B'C'D'\) dos cuadrados arbitrarios en el plano, orientados en la misma dirección. Demuestra que el cuadrilátero formado por los puntos medios de \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\) es un cuadrado.

15 Dado $\triangle ABC$, sea $R$ su circunradio y $q$ el perímetro de su triángulo excentral. Demuestra que $q\le 6\sqrt{3} R$. Nota del tipógrafo: el triángulo excentral tiene como vértices los excentros del triángulo original.

10 En $\triangle ABC$, demuestra que $1< \sum_{cyc}{\cos A}\le \frac{3}{2}$.