4 En el $9$ - gono $ABCDEFGHI$ , todos los lados tienen longitudes iguales y todos los ángulos son iguales. Demuestre que $|AB| + |AC| = |AE|$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/6/2/8c82e8a87bf8a557baaf6ac72b3d18d2ba3965.png

3 En un campo, $2023$ amigos están de pie de tal manera que todas las distancias entre ellos son distintas. Cada uno de ellos dispara una pistola de agua al amigo que está más cerca. Demuestre que al menos una persona no se moja.

2 Los números $1, 2, 3, . . . , 16$ deben colocarse en las $16$ casillas de tal manera que la suma de los números en cada una de las cuatro filas y columnas sea la misma. ¿Cuál es la menor suma posible de los cuatro números de las casillas de las esquinas? https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/c/2/fad1837625fd71e8ea333f9f9477f0bd120e05.png

1 Una rana salta por los enteros de la recta numérica. Si cae en un número par $n$ , salta al número $\frac{n}{2}$ . Si cae en un número impar $n$ , salta al número $n + 5$ . En algún momento cae en el número $25$ . ¿En qué números puede haber estado hace tres saltos?

12.4 Dado un conjunto $A$ de $n$ elementos y enteros positivos $k, m$ tales que $4 \leq k <n$ y $m \leq \min \{k-3, \frac {n} {2}\}$ . Sean $A_1, A_2, \ldots, A_l$ subconjuntos de $A$ , todos de tamaño $k$ , tales que $|A_i \cap A_j| \leq m$ para todo $i \neq j$ . Demuestre que existe un subconjunto $B$ de $A$ con al menos $\sqrt[m+1]{n}+m$ elementos que no contiene completamente a ninguno de los subconjuntos $A_1, A_2, \ldots, A_l$ .

11.1 Halle todos los $a$ reales tales que la ecuación $3^{\cos (2x)+1}-(a-5)3^{\cos^2(2x)}=7$ tiene una raíz real. Observación Esta era la redacción dada en el concurso, pero en realidad había un error tipográfico y la ecuación prevista era $3^{\cos (2x)+1}-(a-5)3^{\cos^2(x)}=7$ , que es mucho más fácil.

10.4 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que existe un entero positivo $m$ y primos $1<p<q$ tales que $q-p \mid m$ y $p, q \mid n^m+1$ .

10.3 Dado un octágono convexo $A_1A_2 \ldots A_8$ . Dada una triangulación $T$ , se pueden tomar dos triángulos $\triangle A_iA_jA_k$ y $\triangle A_iA_kA_l$ y reemplazarlos por $\triangle A_iA_jA_l$ y $\triangle A_jA_lA_k$ . Halle el número mínimo de operaciones $k$ que debemos realizar para que para cualquier par de triangulaciones $T_1, T_2$ podamos llegar a $T_2$ desde $T_1$ usando a lo sumo $k$ operaciones.

10.2 Un triángulo isósceles $\triangle ABC$ tiene $\angle BAC =\angle ABC =72^{o}$ . La bisectriz del ángulo $AL$ corta a la recta que pasa por $C$ paralela a $AB$ en $D$ . $a)$ Demuestre que el circuncentro de $\triangle ADC$ está sobre $BD$ . $b)$ Demuestre que $\frac {BE} {BL}$ es irracional.

9.4 Dado un grafo dirigido con $28$ vértices, tal que no existen vértices $u, v$ tales que $u \rightarrow v$ y $v \rightarrow u$ . Cada $16$ vértices forman un ciclo dirigido. Demuestre que entre cualesquiera $17$ vértices podemos elegir $15$ que formen un ciclo dirigido.