5 Da un cuadrado de lado $1$. Demuestra que para cada conjunto finito de puntos de los lados del cuadrado puedes encontrar un vértice del cuadrado con la siguiente propiedad: la media aritmética de los cuadrados de las distancias desde este vértice a los puntos del conjunto es mayor o igual que $3/4$.

Una hormiga camina por el piso de un camino circular de radio $r$ y se mueve en línea recta, pero a veces se detiene. Cada vez que se detiene, antes de reanudar la marcha, gira $60^o$ alternando la dirección (si la última vez giró $60^o$ a su derecha, la siguiente vez lo hace $60^o$ a su izquierda, y viceversa). Encuentra la longitud máxima posible del camino que recorre la hormiga. Demuestra que la longitud encontrada es, de hecho, la máxima posible. Figura: gira $60^o$ a la derecha.

1 Sea $ABC$ un triángulo con un ángulo recto en $C$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$, y sea $D$ el pie de la altura desde $C$ hasta $AB$. La circunferencia inscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $A_1$, $B_1$ y $C_1$, respectivamente. Sean $E$ y $F$ los reflejos de $C$ en las rectas $C_1A_1$ y $C_1B_1$, respectivamente. Sean $K$ y $L$ los reflejos de $D$ en las rectas $C_1A_1$ y $C_1B_1$, respectivamente. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $A_1EI$, $B_1FI$ y $C_1KL$ tienen un punto común.

2 Sea $N \geq 2$ un entero, y sean $\mathbf a = (a_1, \ldots, a_N)$ y $\mathbf b = (b_1, \ldots, b_N)$ sucesiones de enteros no negativos. Para cada entero $i \not \in \{1, \ldots, N\}$, definimos $a_i = a_k$ y $b_i = b_k$, donde $k \in \{1, \ldots, N\}$ es el entero tal que $i-k$ es divisible por $n$. Decimos que $\mathbf a$ es $\mathbf b$-armónica si cada $a_i$ es igual a la siguiente media aritmética: \[a_i = \frac{1}{2b_i+1} \sum_{s=-b_i}^{b_i} a_{i+s}.\] Supón que ni $\mathbf a$ ni $\mathbf b$ es una sucesión constante, y que tanto $\mathbf a$ es $\mathbf b$-armónica como $\mathbf b$ es $\mathbf a$-armónica. Demuestra que al menos $N+1$ de los números $a_1, \ldots, a_N, b_1, \ldots, b_N$ son cero.

3 Sea $n\ge 3$ un entero. En un país hay $n$ aeropuertos y $n$ aerolíneas que operan vuelos de ida y vuelta. Para cada aerolínea, existe un entero impar $m\ge 3$ y $m$ aeropuertos distintos $c_1, \dots, c_m$, donde los vuelos ofrecidos por la aerolínea son exactamente aquellos entre los siguientes pares de aeropuertos: $c_1$ y $c_2$; $c_2$ y $c_3$; $\dots$; $c_{m-1}$ y $c_m$; $c_m$ y $c_1$. Demuestra que hay una ruta cerrada que consiste en un número impar de vuelos donde no hay dos vuelos operados por la misma aerolínea.

4 Sea $\mathbb N$ el conjunto de todos los enteros positivos. Un subconjunto $A$ de $\mathbb N$ es libre de sumas si, siempre que $x$ y $y$ son (no necesariamente distintos) miembros de $A$, su suma $x+y$ no pertenece a $A$. Determina todas las funciones sobreyectivas $f:\mathbb N\to\mathbb N$ tales que, para cada subconjunto libre de sumas $A$ de $\mathbb N$, la imagen $\{f(a):a\in A\}$ también sea libre de sumas. Nota: una función $f:\mathbb N\to\mathbb N$ es sobreyectiva si, para todo entero positivo $n$, existe un entero positivo $m$ tal que $f(m)=n$.

5 Un punto reticular en el plano cartesiano es un punto cuyas coordenadas son ambas enteras. Un polígono reticular es un polígono cuyos vértices son todos puntos reticulares. Sea $\Gamma$ un polígono reticular convexo. Demuestra que $\Gamma$ está contenido en un polígono reticular convexo $\Omega$ tal que todos los vértices de $\Gamma$ están en la frontera de $\Omega$, y exactamente un vértice de $\Omega$ no es un vértice de $\Gamma$.

6 Para cada entero $n \geq 2$, sea $F(n)$ el mayor factor primo de $n$. Un par extraño es un par de primos distintos $p$ y $q$ tal que no existe un entero $n \geq 2$ para el cual $F(n)F(n+1)=pq$. Demuestra que existen infinitos pares extraños.

1 Encuentra todos los pares $(x,y)$ de enteros no negativos que satisfacen \[x^3y+x+y=xy+2xy^2.\]

2 Dados $100$ enteros positivos cuya suma es igual a su producto. Determina el número mínimo de $1$ s que pueden aparecer entre los $100$ números.