1 En el plano de coordenadas cartesianas se dibuja la gráfica de la parábola $y = x^2$ . Tres puntos distintos $A$ , $B$ y $C$ están marcados en la gráfica, con $A$ entre $B$ y $C$ . El punto $N$ está marcado sobre $BC$ de modo que $AN$ es paralela al eje y. Sean $K_1$ y $K_2$ las áreas de los triángulos $ABN$ y $ACN$ , respectivamente. Exprese $AN$ en términos de $K_1$ y $K_2$ .

2 Demuestre que para $a$ positivo y $n$ natural $$a^n+\frac{1}{a^n}-2 \geq n^2(a+\frac{1}{a}-2)$$

3 Tres puntos distintos $A$ , $B$ y $N$ están marcados sobre la recta $l$ , con $B$ entre $A$ y $N$ . Para un ángulo arbitrario $\alpha \in (0,\frac{\pi}{2})$ , los puntos $C$ y $D$ se marcan en el plano, del mismo lado de $l$ , tales que $N$ , $C$ y $D$ son colineales; $\angle NAD = \angle NBC = \alpha$ ; y $A$ , $B$ , $C$ y $D$ son concíclicos. Halle el lugar geométrico de los puntos de intersección de las diagonales de $ABCD$ cuando $\alpha$ varía entre $0$ y $\frac{\pi}{2}$ .

4 El comité de problemas de una olimpiada matemática prepara algunas variantes de la prueba. Cada variante contiene $4$ problemas, elegidos de una lista corta de $n$ problemas, y cualesquiera dos variantes tienen a lo sumo un problema en común. (a) Si $n = 14$ , determine el mayor número posible de variantes que el comité de problemas puede preparar. (b) Halle el menor valor de n para el cual es posible preparar diez variantes de la prueba.

5 En la sucesión creciente de enteros positivos $a_1$ , $a_2$ , . . . , se dice que el número $a_k$ es divertido si puede representarse como la suma de algunos otros términos (no necesariamente distintos) de la sucesión. (a) Demuestre que todos salvo un número finito de términos de la sucesión son divertidos. (b) ¿Vale siempre el resultado de (a) si los términos de la sucesión pueden ser números racionales positivos cualesquiera?

6 Sea $n$ un entero positivo. Cada casilla de un tablero cuadrado $(2n-1) \times (2n - 1)$ contiene una flecha, que apunta hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha. Un escarabajo se encuentra en una de las casillas. Cada año se desplaza desde una casilla en la dirección de la flecha de esa casilla, llegando a otra casilla o saliendo del tablero. Cada vez que el escarabajo se mueve, la flecha de la casilla que abandona gira $\frac{\pi}{2}$ en el sentido de las agujas del reloj. Demuestre que el escarabajo sale del tablero en a lo sumo $2^{3n-1}(n-1)!-4$ años después de su primer movimiento.

7 El cuadrilátero convexo $ABCD$ está inscrito en la circunferencia $S_1$ . Sea $O$ la intersección de $AC$ y $BD$ . La circunferencia $S_2$ pasa por $D$ y $ O$ , e interseca a $AD$ y $CD$ en $ M$ y $ N$ , respectivamente. Las rectas $OM$ y $AB$ se intersecan en $R$ , las rectas $ON$ y $BC$ se intersecan en $T$ , y $R$ y $T$ están del mismo lado de la recta $BD$ que $ A$ . Demuestre que $O$ , $R$ , $T$ y $B$ son concíclicos.

8 Hay $n$ aborígenes en una isla. Cualesquiera dos de ellos son amigos o enemigos. Un día, el cacique ordena que todos los ciudadanos (incluido él mismo) hagan y usen un collar con cero o más piedras, de modo que: (i) dado un par de amigos, existe un color tal que cada uno tiene una piedra de ese color; (ii) dado un par de enemigos, no existe un color tal que cada uno tenga una piedra de ese color. (a) Demuestre que los aborígenes pueden cumplir la orden del cacique. (b) ¿Cuál es el número mínimo de colores de piedras necesario para que los aborígenes cumplan la orden del cacique?

2 Halle el número de pares $(n, q)$ , donde $n$ es un entero positivo y $q$ un número racional no entero con $0 < q < 2000$ , que satisfacen $\{q^2\}=\left\{\frac{n!}{2000}\right\}$

3 Se da una sucesión de números $a_1,a_2,...,a_{1999}$ . En cada movimiento se permite elegir dos de los números, digamos $a_m,a_n$ , y reemplazarlos respectivamente por los números $$\frac{a_n^2}{a_m^2}-\frac{n}{m}\left(\frac{a_m^2}{a_n}-a_m\right), \frac{a_m^2}{a_n^2}-\frac{m}{n}\left(\frac{a_n^2}{a_m}-a_n\right) $$ . Partiendo de la sucesión $a_i = 1$ para $20 \nmid i$ y $a_i =\frac{1}{5}$ para $20 \mid i$ , ¿es posible obtener una sucesión cuyos términos sean todos enteros?