42 Demuestre que el producto de dos lados de un triángulo es siempre mayor que el producto de los diámetros de la circunferencia inscrita y de la circunferencia circunscrita. Amir

43 Suponga que se dan $1985$ puntos en el interior de un cubo unitario. Demuestre que siempre se pueden elegir $32$ de ellos de tal manera que todo polígono cerrado (posiblemente degenerado) con estos puntos como vértices tenga una longitud total menor que $8 \sqrt 3.$ Amir

44 ¿Para qué enteros $n \geq 3$ existe un $n$ -gono regular en el plano tal que todos sus vértices tengan coordenadas enteras en un sistema de coordenadas rectangulares? Amir

46 Sea $C$ la curva determinada por la ecuación $y = x^3$ en el sistema de coordenadas rectangulares. Sea $t$ la tangente a $C$ en un punto $P$ de $C$ ; t interseca a $C$ en otro punto $Q$ . Halle la ecuación del conjunto $L$ de los puntos medios $M$ de $PQ$ cuando $P$ recorre $C$ . ¿Es la correspondencia que asocia $P$ y $M$ una biyección de $C$ sobre $L$ ? Halle una semejanza que transforme $C$ en $L.$ Amir

47 Sea $F$ la correspondencia que asocia a todo punto $P = (x, y)$ el punto $P' = (x', y')$ tal que \[ x'= ax + b,\qquad y'= ay + 2b. \qquad (1)\] Demuestre que si $a \neq 1$ , todas las rectas $PP'$ son concurrentes. Halle la ecuación del conjunto de puntos que corresponden a $P = (1, 1)$ para $b = a^2$ . Demuestre que la composición de dos aplicaciones del tipo $(1)$ es del mismo tipo. Amir

49 Dado un conjunto $M$ de $1985$ enteros positivos, ninguno de los cuales tiene un divisor primo mayor que $26$ , demuestre que el conjunto tiene cuatro elementos distintos cuya media geométrica es un entero. Amir

C2 En un tablero de ajedrez de $50 \times 50$ , colocamos, en la esquina inferior izquierda, un dado cuyas caras están numeradas del $1$ al $6$ . Por convención, la suma de los números de dos caras opuestas del dado es igual a $7$ . Adama quiere mover el dado hasta la esquina diagonalmente opuesta usando la siguiente regla: en cada paso, Adama solo puede hacer rodar el dado hacia su lado derecho o hacia su lado superior. Suponemos que cada vez que el dado cae sobre una casilla, el número de su cara inferior queda impreso en la casilla. Al final de estas operaciones, Adama quiere hallar la suma de los $99$ números que aparecen en el tablero de ajedrez. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo posibles de esta suma?

48 En un país dado, todos los habitantes son caballeros o bribones. Un caballero nunca miente; un bribón siempre miente. Nos encontramos con tres personas, $A, B$ y $C$ . La persona $A$ dice: “Si $C$ es un caballero, $B$ es un bribón.” La persona $C$ dice: “ $A$ y yo somos diferentes; uno es un caballero y el otro es un bribón.” ¿Quiénes son los caballeros y quiénes son los bribones ? Amir

50 Desde cada uno de los vértices de un $n$ -gono regular parte un automóvil que se mueve con velocidad constante a lo largo del perímetro del $n$ -gono en el mismo sentido. Demuestre que si todos los automóviles terminan en un vértice $A$ al mismo tiempo, entonces nunca vuelven a encontrarse en ningún otro vértice del $n$ -gono. ¿Pueden volver a encontrarse en $A \ ?$ Amir

51 Sea $f_1 = (a_1, a_2, \dots , a_n) , n > 2$ , una sucesión de enteros. A partir de $f_1$ se construye una sucesión $f_k$ de sucesiones como sigue: si $f_k = (c_1, c_2, \dots, cn)$ , entonces $f_{k+1} = (c_{i_{1}}, c_{i_{2}}, c_{i_{3}} + 1, c_{i_{4}} + 1, . . . , c_{i_{n}} + 1)$ , donde $(c_{i_{1}}, c_{i_{2}},\dots , c_{i_{n}})$ es una permutación de $(c_1, c_2, \dots, c_n)$ . Dé una condición necesaria y suficiente para $f_1$ bajo la cual sea posible que $f_k$ sea una sucesión constante $(b_1, b_2,\dots , b_n), b_1 = b_2 =\cdots = b_n$ , para algún $k.$ Amir