10 En $\triangle ABC$, demuestra que $1< \sum_{cyc}{\cos A}\le \frac{3}{2}$.

Sean \(ABCD\) y \(A'B'C'D'\) dos cuadrados arbitrarios en el plano, orientados en la misma dirección. Demuestra que el cuadrilátero formado por los puntos medios de \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\) es un cuadrado.

12 Sea $\{x_i\}, 1\le i\le 6$ un conjunto dado de seis enteros, ninguno de los cuales es divisible por $7$. (a) Demuestra que al menos una de las expresiones de la forma $x_1\pm x_2\pm x_3\pm x_4\pm x_5\pm x_6$ es divisible por $7$, donde los signos $\pm$ son independientes entre sí. (b) Generaliza el resultado a todo número primo.

13. Cada lado de un triángulo arbitrario $\triangle ABC$ se divide en partes iguales, y se trazan líneas paralelas a $AB,BC,CA$ a través de cada uno de estos puntos, cortando así a $\triangle ABC$ en triángulos pequeños. A los puntos se les asigna un número de la siguiente manera: $(1)$ $A,B,C$ reciben $1,2,3$ respectivamente $(2)$ Los puntos sobre $AB$ reciben $1$ o $2$ $(3)$ Los puntos sobre $BC$ reciben $2$ o $3$ $(4)$ Los puntos sobre $CA$ reciben $3$ o $1$ Demuestra que debe existir un triángulo pequeño cuyos vértices estén marcados con $1,2,3$.

14 Sea $\alpha + \beta +\gamma = \pi$. Demuestra que $\sum_{cyc}{\sin 2\alpha} = 2\cdot \left(\sum_{cyc}{\sin \alpha}\right)\cdot\left(\sum_{cyc}{\cos \alpha}\right)- 2\sum_{cyc}{\sin \alpha}$.

15 Dado $\triangle ABC$, sea $R$ su circunradio y $q$ el perímetro de su triángulo excentral. Demuestra que $q\le 6\sqrt{3} R$. Nota del tipógrafo: el triángulo excentral tiene como vértices los excentros del triángulo original.

16 Demuestra que la ecuación $\sqrt{2-x^2}+\sqrt[3]{3-x^3}=0$ no tiene raíces reales.

En el tetraedro \(ABCD\), \(\angle BDC=90^o\) y el pie de la perpendicular desde \(D\) al plano \(ABC\) es la intersección de las alturas de \(ABC\). Demuestra que: \[ (AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2). \] ¿Cuándo se tiene la igualdad?

19 Sea $1<n\in\mathbb{N}$ y $1\le a\in\mathbb{R}$ y supongamos que hay $n$ números $x_i, i\in\mathbb{N}, 1\le i\le n$ tales que $x_1=1$ y $\frac{x_{i}}{x_{i-1}}=a+\alpha _ i$ para $2\le i\le n$, donde $\alpha _i\le \frac{1}{i(i+1)}$. Demuestra que $\sqrt[n-1]{x_n}< a+\frac{1}{n-1}$.

20 Sea \(M\) un punto interior del tetraedro \(ABCD\). Demuestra que \[ \begin{array}{c} \ \stackrel{\longrightarrow }{MA} \text{vol}(MBCD) +\stackrel{\longrightarrow }{MB} \text{vol}(MACD) +\stackrel{\longrightarrow }{MC} \text{vol}(MABD) + \stackrel{\longrightarrow }{MD} \text{vol}(MABC) = 0 \end{array} \] ( \(\text{vol}(PQRS)\) denota el volumen del tetraedro \(PQRS\) ). Amir