Digamos que un par de enteros positivos distintos es bueno si su media aritmética y su media geométrica son ambas enteras. ¿Es verdad que para cada par bueno existe otro par bueno con la misma media aritmética? (Los pares $(a, b)$ y $(b, a)$ se consideran el mismo par.) Boris Frenkin

Alicia y Bob juegan al siguiente juego. En cada turno, Alicia sugiere un entero y Bob escribe ese número o la suma de ese número con todos los números escritos anteriormente. ¿Es siempre posible que Alicia se asegure de que en algún momento entre los números escritos haya al menos cien copias del número 5? ¿al menos cien copias del número 10? Andrey Arzhantsev

Hay dos mesas redondas con $n{}$ enanos sentados en cada una. Cada enano tiene solo dos amigos: sus vecinos a la izquierda y a la derecha. Un buen mago quiere sentar a los enanos en una sola mesa redonda de modo que cada dos vecinos sean amigos. Su magia le permite convertir cualesquiera $2n$ pares de enanos en pares de amigos (los enanos de un par pueden ser de la misma mesa o de mesas diferentes). Sin embargo, sabe que un hechicero malvado romperá $n{}$ de esas nuevas amistades. ¿Para qué $n{}$ puede el buen mago lograr su objetivo sin importar lo que haga el hechicero malvado? Mikhail Svyatlovskiy

3 En cierto grupo hay $n \ge 5$ personas, y cada dos personas que no se conocen tienen exactamente un amigo en común, y nadie conoce a todos los demás. Demuestre que $5$ de las $n$ personas pueden sentarse en círculo alrededor de la mesa de modo que cada una de ellas se siente entre a) amigos, b) desconocidos.

1 Demuestre que el número $111...111$ con 1991 veces el número 1, no es primo.

N5 Para un entero no negativo $n$ defina $\operatorname{rad}(n)=1$ si $n=0$ o $n=1$ , y $\operatorname{rad}(n)=p_1p_2\cdots p_k$ , donde $p_1<p_2<\cdots <p_k$ son todos los factores primos de $n$ . Encuentre todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes enteros no negativos tales que $\operatorname{rad}(f(n))$ divide a $\operatorname{rad}(f(n^{\operatorname{rad}(n)}))$ para todo entero no negativo $n$ .

¿Existe un entero positivo $n{}$ tal que para cualesquiera reales $x{}$ e $y{}$ existan números reales $a_1, \ldots , a_n$ que satisfagan \[x=a_1+\cdots+a_n\text{ and }y=\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}?\] Artemiy Sokolov

Hay una fila de $100N$ sándwiches con jamón. Un niño y su gato juegan un juego. En una acción, el niño se come el primer sándwich de cualquiera de los extremos de la fila. En una acción, el gato o bien se come el jamón de un sándwich o bien no hace nada. El niño realiza 100 acciones en cada uno de sus turnos, y el gato hace solo 1 acción por turno; el niño comienza primero. El niño gana si el último sándwich que se come contiene jamón. ¿Es cierto que puede ganar para cualquier entero positivo $N{}$ sin importar cómo juegue el gato? Ivan Mitrofanov

Hay un triángulo equilátero de lado $d{}$ y un punto $P{}$ tal que las distancias desde $P{}$ a los vértices del triángulo son números positivos $a, b, c$ . Demuestre que existen un punto $Q{}$ y un triángulo equilátero de lado $a{}$ , tales que las distancias desde $Q{}$ a los vértices de este triángulo son $b, c, d$ . Alexandr Evnin

Hay $n{}$ piedras en un montón. Dos jugadores juegan el juego tomando alternativamente, o bien 1 piedra del montón, o bien un número primo de piedras que divida al número actual de piedras del montón. El jugador que toma la última piedra gana. ¿Para cuáles $n{}$ tiene el primer jugador una estrategia para ganar sin importar cómo juegue el otro jugador? Fedor Ivlev