8 Halle todos los polinomios $ P(x,y)$ tales que para todos los reales $ x$ y $y$ , \[P(x^{2},y^{2}) =P\left(\frac {(x + y)^{2}}{2},\frac {(x - y)^{2}}{2}\right).\]

12 $ T$ es un subconjunto de $ {1,2,...,n}$ que tiene esta propiedad : para todos los $ i,j \in T$ distintos , $ 2j$ no es divisible por $ i$ . Demuestre que : $ |T| \leq \frac {4}{9}n + \log_2 n + 2$

3 Suponga que $ T$ es un árbol con $ k$ aristas. Demuestre que el cubo de dimensión $ k$ puede particionarse en grafos isomorfos a $ T$ . Omid

1 Halle todas las funciones $ f: \mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ tales que para cada $ x,y\in\mathbb R$ : \[ f(xf(y)) + y + f(x) = f(x + f(y)) + yf(x)\] Omid

2 Suponga que $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ y $ l'$ es una recta tangente a la circunferencia inscrita. Sea $ l$ otra recta que interseca a $ AB,AC,BC$ respectivamente en $ C',B',A'$ . Trazamos una tangente desde $ A'$ a la circunferencia inscrita distinta de $ BC$ , y esta recta interseca a $ l'$ en $ A_1$ . $ B_1,C_1$ se definen de manera similar. Demuestre que $ AA_1,BB_1,CC_1$ son concurrentes. Omid

9 $ I_a$ es el excéntrico del triángulo $ ABC$ con respecto a $ A$ , y $ AI_a$ interseca a la circunferencia circunscrita de $ ABC$ en $ T$ . Sea $ X$ un punto en $ TI_a$ tal que $ XI_a^2=XA.XT$ . Trace una recta perpendicular desde $ X$ a $ BC$ de modo que interseca a $ BC$ en $ A'$ . Defina $ B'$ y $ C'$ de la misma manera. Demuestre que $ AA'$ , $ BB'$ y $ CC'$ son concurrentes. Omid

10 En el triángulo $ ABC$ , $ \angle B$ es mayor que $ \angle C$ . $ T$ es el punto medio del arco $ BAC$ de la circunferencia circunscrita de $ ABC$ e $ I$ es el incentro de $ ABC$ . $ E$ es un punto tal que $ \angle AEI=90^\circ$ y $ AE\parallel BC$ . $ TE$ interseca a la circunferencia circunscrita de $ ABC$ por segunda vez en $ P$ . Si $ \angle B=\angle IPB$ , halle el ángulo $ \angle A$ . Omid

11 $ k$ es un número natural dado. Halle todas las funciones $ f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tales que para cada $ m,n\in\mathbb{N}$ se cumple lo siguiente: \[ f(m)+f(n)\mid (m+n)^k\] Omid

12 En el triángulo acutángulo $ ABC$ , $ D$ es la intersección de la altura que pasa por $ A$ con $ BC$ e $ I_a$ es el excéntrico del triángulo con respecto a $ A$ . $ K$ es un punto en la prolongación de $ AB$ desde $ B$ , para el cual $ \angle AKI_a=90^\circ+\frac 34\angle C$ . $ I_aK$ interseca la prolongación de $ AD$ en $ L$ . Demuestre que $ DI_a$ biseca al ángulo $ \angle AI_aB$ si y solo si $ AL=2R$ . ( $ R$ es el circunradio de $ ABC$ ) Omid

1 En el triángulo $ABC$ , $M$ es el punto medio de $AC$ , y $D$ es un punto en $BC$ tal que $DB=DM$ . Sabemos que $2BC^{2}-AC^{2}=AB.AC$ . Demuestre que \[BD.DC=\frac{AC^{2}.AB}{2(AB+AC)}\] Omid