Sea $2\mathbb{Z} + 1$ el conjunto de los enteros impares. Halle todas las funciones $f:\mathbb{Z} \mapsto 2\mathbb{Z} + 1$ que satisfacen \[ f(x + f(x) + y) + f(x - f(x) - y) = f(x+y) + f(x-y) \] para todo $x, y \in \mathbb{Z}$ .

Los números positivos $a, b, c$ son tales que $a^2<16bc, b^2<16ca$ y $c^2<16ab$ . Demuestre que \[a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca).\]

Halle todos los números naturales $n{}$ tales que para todo número natural $a{}$ que sea primo relativo con $n{}$ , el número $a^n - 1$ sea divisible por $2n^2$ .

Sean $x,y,z{}$ números reales positivos. Demuestre que \[(xy+yz+zx)\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}\right)>\frac{5}{2}.\]

Demuestre que existen dos números naturales $a,b$ tales que $|a-m|+|b-n|>1000$ para cualesquiera números naturales primos entre sí $m,n$ .

Las diagonales de un cuadrilátero cíclico $ABCD$ se intersecan en $P$ , y existe un círculo $\Gamma$ tangente a las prolongaciones de $AB,BC,AD,DC$ en $X,Y,Z,T$ respectivamente. El círculo $\Omega$ pasa por los puntos $A,B$ , y es tangente exteriormente al círculo $\Gamma$ en $S$ . Demuestre que $SP\perp ST$ .

Sean $a{}$ y $b{}$ números naturales mayores que uno. Sea $n{}$ un número natural para el cual $a\mid 2^n-1$ y $b\mid 2^n+1$ . Demuestre que no existe ningún número natural $k{}$ tal que $a\mid 2^k+1$ y $b\mid 2^k-1$ .

Se seleccionan $101$ puntos azules y $101$ puntos rojos en el plano, y no hay tres de ellos sobre una misma recta. La suma de las distancias dos a dos entre los puntos rojos es $1$ (es decir, la suma de las longitudes de los segmentos cuyos extremos son puntos rojos), la suma de las distancias dos a dos entre los azules también es $1$ , y la suma de las longitudes de los segmentos con extremos de colores distintos es $400$ . Demuestre que se puede trazar una recta que separe todos los puntos rojos de todos los azules.

En el cuadrilátero cíclico $ABCD$ , la diagonal $BD$ es dividida en dos partes iguales por la diagonal $AC$ . Los puntos $E, F, G$ y $H{}$ son los puntos medios de los lados $AB, BC, CD{}$ y $DA$ respectivamente. Sean $P = AD \cap BC$ y $Q = AB \cap CD{}$ . Las bisectrices de los ángulos $APC$ y $AQC$ intersecan a los segmentos $EG$ y $FH$ en los puntos $X{}$ y $Y{}$ respectivamente. Demuestre que $XY \parallel BD$ .

Se da un cuadrilátero cíclico $ABCD$ . Sean $I{}$ y $J{}$ los centros de los círculos inscritos en los triángulos $ABC$ y $ADC$ . Resulta que los puntos $B, I, J, D$ están sobre el mismo círculo. Demuestre que el cuadrilátero $ABCD$ es circunscriptible.