Para un triángulo $ABC$ , $O$ es la circunferencia circunscrita y $D$ es un punto en el rayo $BA$ . $E$ y $F$ son puntos sobre $O$ tales que $DE$ y $DF$ son tangentes a $O$ y $EF$ corta a $AC$ en $T(\neq C)$ . $P(\neq B,C)$ es un punto en el arco $BC$ que no contiene a $A$ , y $DP$ corta a $O$ en $Q (\neq P)$ . Sea $X (\neq Q)$ la intersección de $BQ$ y $DT$ , y $PT$ corta a $O$ en $Y (\neq P)$ . Demuestre que $C,X,Y$ son colineales.

Encuentre el menor número real $p(\leq 1)$ que satisface la siguiente condición. (Condición) Para números reales $x_1, x_2, \dots, x_{2024}, y_1, y_2, \dots, y_{2024}$ , si $0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \dots \leq x_{2024} \leq 1$ , $0 \leq y_1 \leq y_2 \leq \dots \leq y_{2024} \leq 1$ , $\displaystyle \sum_{i=1}^{2024}x_i = \displaystyle \sum_{i=1}^{2024}y_i = 2024p$ , entonces se cumple la desigualdad $\displaystyle \sum_{i=1}^{2024}x_i(y_{2025-i}-y_{2024-i}) \geq 1 - p$ .

3 Sea $f(x)$ un polinomio mónico de grado $2023$ con coeficientes enteros positivos. Demuestre que para todo entero $N$ suficientemente grande y todo número primo $p>2023N$ , el producto \[f(1)f(2)\dots f(N)\] es a lo sumo $\binom{2023}{2}$ veces divisible por $p$ . Propuesto por Ashwin Sah

Para un entero positivo $n(\geq 2)$ , hay $2n$ caramelos. Alicia distribuye $2n$ caramelos en $4n$ cajas $B_1, B_2, \dots, B_{4n}.$ Bob verifica el número de caramelos que Alicia pone en cada caja. Después de esto, Bob elige exactamente $2n$ cajas $B_{k_1}, B_{k_2}, \dots, B_{k_{2n}}$ de entre las $4n$ cajas que satisfacen la siguiente condición, y toma todos los caramelos. (Condición) $k_i - k_{i - 1}$ es $1$ o $3$ para cada $i = 1, 2, \dots, 2n$ , y $k_{2n} = 4n$ . ( $k_0 = 0$ ) Alicia toma todos los caramelos de las $2n$ cajas que Bob no eligió. Si tanto Alicia como Bob usan su mejor estrategia para tomar tantos caramelos como sea posible, ¿cuántos caramelos puede tomar Alicia?

1 En cada casilla de un jardín con forma de tablero de $2022 \times 2022$ hay inicialmente un árbol de altura $0$ . Un jardinero y un leñador juegan por turnos alternados el siguiente juego, comenzando el jardinero: El jardinero elige una casilla del jardín. Cada árbol de esa casilla y de todas las casillas circundantes (que son a lo sumo ocho) crece entonces una unidad. El leñador elige después cuatro casillas distintas del tablero. Cada árbol de altura positiva de esas casillas se acorta entonces una unidad. Decimos que un árbol es majestuoso si su altura es al menos $10^6$ . Determine la mayor $K$ tal que el jardinero pueda asegurar que finalmente haya $K$ árboles majestuosos en el tablero, sin importar cómo juegue el leñador. ike.chen

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y $AB<AC$ . El punto $T$ está sobre la recta $BC$ de modo que $AT$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Sean las rectas $AH$ y $BC$ que se cortan en el punto $D$ , y sea $M$ el punto medio de $HC$ . Sea la circunferencia circunscrita de $AHT$ que corta a $CH$ en $P \not=H$ , y la circunferencia circunscrita de $PDM$ que corta a $BC$ en $Q \not=D$ . Demuestre que $QT=QA$ .

3 Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Denotamos por $\mathcal F$ el conjunto de todas las funciones $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ tales que $$f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$$ para todo $x,y\in\mathbb R$ . Halle todos los números racionales $q$ tales que para toda función $f\in\mathcal F$ exista algún $z\in\mathbb R$ que satisfaga $f(z)=qz$ .

4 La recta $l$ pasa por el punto $A$ del triángulo $ABC$ . El punto $X$ está sobre la recta $l$ . ${\omega}_b$ y ${\omega}_c$ son circunferencias que pasan por los puntos $X,A$ y son respectivamente tangentes a $AB$ y $AC$ . Las tangentes trazadas desde $B,C$ respectivamente a ${\omega}_b$ y ${\omega}_c$ las cortan en $Y,Z$ . Demuestre que al variar $X$ , la circunferencia circunscrita del triángulo $XYZ$ pasa por dos puntos fijos. Propuesto por Ali Zamani

1 Halle todos los enteros positivos $n>2$ tales que $$ n! \mid \prod_{ p<q\le n, p,q \, \text{primes}} (p+q)$$ Aryan-23

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC > AB$ , sea $O$ su circuncentro, y sea $D$ un punto del segmento $BC$ . La recta que pasa por $D$ perpendicular a $BC$ corta a las rectas $AO, AC,$ y $AB$ en $W, X,$ y $Y,$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AXY$ y $ABC$ se cortan de nuevo en $Z \ne A$ . Demuestre que si $W \ne D$ y $OW = OD,$ entonces $DZ$ es tangente a la circunferencia $AXY.$ ike.chen