4 $\forall n \in \mathbb{N}$ , $P(n)$ denota el número de particiones de $n$ como suma de enteros positivos (sin tener en cuenta el orden de las partes), p. ej., como $4 = 1+1+1+1 = 1+1+2 = 1+3 = 2+2 = 4$ , se tiene $P(4)=5$ . La «dispersión» de una partición denota el número de partes distintas de dicha partición. Y denotemos por $q(n)$ la suma de todas las dispersiones, p. ej., $q(4)=1+2+2+1+1=7$ . $n \geq 1$ . Demuestre que (1) $q(n) = 1 + \sum^{n-1}_{i=1} P(i).$ (2) $1 + \sum^{n-1}_{i=1} P(i) \leq \sqrt{2} \cdot n \cdot P(n)$ .

28 Considera en un plano $ P $ los puntos $ O,A_1,A_2,A_3,A_4 $ tales que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq 1 \quad \forall i, j = 1, 2, 3, 4, i \neq j.\] donde $ \sigma(OA_iA_j) $ es el área del triángulo $ OA_iA_j.$ Demuestra que existe al menos un par $ i_0, j_0 \in \{1, 2, 3, 4\} $ tal que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq \sqrt{2}.\]

3 Sean $A_1,A_2,...,A_{2n}$ $2n$ puntos distintos del plano, con $n > 1$ . $V$ es el conjunto de todos los segmentos $A_iA_j$ . Demuestre que si $M$ es un subconjunto de $V$ con al menos $n^2 + 1$ elementos, entonces existen al menos tres puntos $A_r$ , $A_s$ , $A_t$ ( $r, s$ y $t$ son distintos), tales que $A_rA_s$ , $A_rA_t$ y $A_sA_t$ son elementos de $M$ . Además, demuestre que la afirmación deja de ser válida si se reemplaza $n^2 + 1$ por un número menor.

1 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que existen $n$ enteros positivos consecutivos cuya suma es un cuadrado perfecto.

11 Alfredo y Bonnie juegan un juego en el que se turnan para lanzar una moneda justa. El ganador de un juego es la primera persona que obtiene una cara. Alfredo y Bonnie juegan este juego varias veces con la condición de que el perdedor de un juego empieza primero en el siguiente juego. Supón que Alfredo empieza primero en el primer juego, y que la probabilidad de que gane el sexto juego es $m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. ¿Cuáles son los últimos tres dígitos de $m + n$?

C3 Una función $f(x,y)$ de dos variables reales es angelical si existe una fórmula finita para ella que use únicamente $x,y,$ la suma, la resta, los paréntesis y la función valor absoluto. Por ejemplo, $x-(|y+y-x)|+y)$ y $x+x+x-x$ son funciones angelicales. Determine si la función $\max(x,y)$ es angelical .

1 Como se muestra en la figura, en el triángulo acutángulo $\vartriangle ABC$ , $AB > AC$ , $M$ es el punto medio del arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita $\Omega$ de $\vartriangle ABC$ . $K$ es el punto de intersección de la bisectriz del ángulo exterior $\angle BAC$ y de la prolongación de $BC$ . Desde el punto $A$ trácese una recta perpendicular a $BC$ y tómese un punto $D$ (distinto de $A$ ) sobre esa recta, tal que $DM = AM$ . Sea la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ADK$ la que interseca a la circunferencia $\Omega$ en el punto $A$ y en otro punto $T$ . Demuestre que $AT$ biseca al segmento $BC$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/1/3/6fde30405101620828d63ae31b8c0ffcec972f.png

1 Sea ${AB}$ un diámetro de una circunferencia ${\omega}$ con centro ${O}$ , ${OC}$ un radio de ${\omega}$ perpendicular a $AB$ , ${M}$ un punto del segmento $\left( OC \right)$ . Sea ${N}$ el segundo punto de intersección de la recta ${AM}$ con ${\omega}$ y ${P}$ el punto de intersección de las tangentes a ${\omega}$ en los puntos ${N}$ y ${B.}$ Demuestre que los puntos ${M,O,P,N}$ son concíclicos. (Albania)

64 Dado un conjunto $M$ de $m$ elementos y un subconjunto $K \subset M$ de $k$ elementos. Llamamos a una función $f: K \to M$ que tiene "camino", si existe un elemento $x_0 \in K$ tal que $f(x_0) = x_0$, o existe una cadena $x_0, x_1, \ldots, x_j = x_0 \in K$ tal que $x_i = f(x_{i-1})$ para $i = 1, 2, \ldots, j$. Encuentra el número de funciones $f: K \to M$ que tienen camino. Amir

63 Sea \( p \) el producto de dos enteros consecutivos mayores que 2. Demuestra que no existen enteros \( x_1, x_2, \ldots, x_p \) que satisfagan la ecuación \[ \sum^p_{i = 1} x^2_i - \frac {4}{4 \cdot p + 1} \left( \sum^p_{i = 1} x_i \right)^2 = 1 \] O demuestra que solo hay dos valores de \( p \) para los cuales existen enteros \( x_1, x_2, \ldots, x_p \) que satisfacen \[ \sum^p_{i = 1} x^2_i - \frac {4}{4 \cdot p + 1} \left( \sum^p_{i = 1} x_i \right)^2 = 1 \]