g2.1.4 En el triángulo $\vartriangle ABC$, $D$ es el punto medio de $BC$. Los puntos $E$ y $F$ se eligen sobre el lado $AC$ de modo que $AF = FE = EC$. Sea $AD$ que interseca a $BE$ y $BF$ en $G$ y $H$, respectivamente. Encuentra la razón de las áreas de $\vartriangle BGH$ y $\vartriangle ABC$.

1 Para un primo dado $ p > 2$ y un entero positivo $ k$ , sea \[ S_k = 1^k + 2^k + \ldots + (p - 1)^k\] Halle aquellos valores de $ k$ para los cuales $ p \, |\, S_k$ .

Sea $ABCD$ un cuadrado con lado de longitud $1$ y sea $O$ el punto medio de $AD$. Se dibuja un semicírculo con diámetro $AD$ dentro del cuadrado. Sea $E$ un punto sobre el lado $AB$ tal que $CE$ es tangente al círculo de centro $O$. Encuentra el área del triángulo $CBE$.

6 Sea $ABC$ un triángulo con punto medio $M$ de $BC$ . Un punto $X$ se llama inmaculado si la recta perpendicular desde $X$ a la recta $MX$ interseca a las rectas $AB$ y $AC$ en dos puntos que son equidistantes de $M$ . Suponga que $U, V, W$ son tres puntos inmaculados sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Demuestre que $M$ es el incentro de $\triangle UVW$ . Propuesto por Pranjal Srivastava y Rohan Goyal

9 Sean $x_1,x_2, ..., x_n$ números reales que satisfacen $\sum_{k=1}^{n-1} min(x_k; x_{k+1}) = min(x_1; x_n)$ . Demuestre que $\sum_{k=2}^{n-1} x_k \ge 0$ .

3 Sea $n \ge 3$ un entero. Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de vértices de un $n$ - ágono regular en el plano. Un polinomio $f(x, y)$ de dos variables con coeficientes reales se llama $\textit{regular}$ si $$\mathcal{P} = \{(u, v) \in \mathbb{R}^2 \, | \, f(u, v) = 0 \}.$$ Halle el menor valor posible del grado de un polinomio regular. Propuesto por Navid Safaei

2 Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB < AC$ . Sea la excircunferencia opuesta a A tangente a las rectas $AB, AC$ y $BC$ en los puntos $D, E$ y $F$ , respectivamente, y sea $J$ su centro. Sea $P$ un punto sobre el lado $BC$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BDP$ y $CEP$ se intersecan por segunda vez en $Q$ . Sea $R$ el pie de la perpendicular trazada desde $A$ hasta la recta $FJ$ . Demuestre que los puntos $P, Q$ y $R$ son colineales. (La excircunferencia de un triángulo $ABC$ opuesta a $A$ es el círculo tangente al segmento $BC$ , al rayo $AB$ más allá de $B$ y al rayo $AC$ más allá de $C$ . ) Propuesto por Bozhidar Dimitrov, Bulgaria

3 Halle todas las ternas de enteros positivos $(x, y, z)$ que satisfacen la ecuación $$2020^x + 2^y = 2024^z.$$ Propuesto por Ognjen Tešić, Serbia

1 Una liga consta de $2024$ jugadores. Una ronda consiste en dividir a los jugadores en dos equipos diferentes y hacer que cada miembro de un equipo juegue contra cada miembro del otro equipo. Una ronda se llama balanceada si ambos equipos tienen el mismo número de jugadores. Un torneo consta de varias rondas al final de las cuales cualesquiera dos jugadores han jugado entre sí. El comité organizó el año pasado un torneo que constaba de $N$ rondas. Demuestre que el comité puede organizar este año un torneo con $N$ rondas balanceadas. Propuesto por Anant Mudgal y Navilarekallu Tejaswi

4 Demuestre que no existen enteros $x, y, z$ que satisfagan la ecuación $$x^2+y^2-z^2=xyz-2.$$ Propuesto por Navid Safaei