5 Se nos dan cinco relojes que pueden ser adelantados. ¿Cuál es la menor suma de intervalos de adelanto que nos permite ponerlos a la misma hora, sin importar cómo estuvieran inicialmente?

6 En el triángulo $ABC$ con $AB>BC$ , $BM$ es una mediana y $BL$ es una bisectriz del ángulo. La recta que pasa por $M$ y es paralela a $AB$ interseca a $BL$ en el punto $D$ , y la recta que pasa por $L$ y es paralela a $BC$ interseca a $BM$ en el punto $E$ . Demuestre que $ED$ es perpendicular a $BL$ . behdad.math.math

7 Un joyero fabrica una cadena formada por $N>3$ eslabones numerados. Un cliente quisquilloso le pide entonces que cambie el orden de los eslabones, de tal manera que el número de eslabones que el joyero debe abrir sea máximo. ¿Cuál es el número máximo?

En un grupo de $10$ personas, entre cualesquiera tres personas hay alguien que es amigo de las otras dos. Demuestre que estas $10$ personas pueden dividirse en dos grupos de $5$ tales que en cada grupo todos son amigos de todos los demás. Propuesto por Mykhailo Shtandenko

3 Un círculo es tangente a los lados $DA$ , $AB$ , $BC$ , $CD$ de un cuadrilátero $ABCD$ en los puntos $K$ , $L$ , $M$ , $N$ , respectivamente. Sean $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ respectivamente las circunferencias inscritas de los triángulos $AKL$ , $BLM$ , $CMN$ , $DNK$ . Se trazan las tangentes externas comunes distintas de los lados de $ABCD$ a $S_1$ y $S_2$ , $S_2$ y $S_3$ , $S_3$ y $S_4$ , $S_4$ y $S_1$ . Demuestre que estas cuatro tangentes determinan un rombo.

7 Por el vértice $A$ de un tetraedro $ABCD$ pasa un plano tangente a la esfera circunscrita del tetraedro. Demuestre que las rectas de intersección del plano con los planos $ABC$ , $ABD$ , $ACD$ forman seis ángulos iguales si y solo si: \[AB\cdot CD=AC\cdot BD=AD\cdot BC\]

6 Tres polígonos convexos están dados en un plano. Demuestre que no existe una recta que corte a todos los polígonos si y solo si cada uno de los polígonos puede ser separado de los otros dos por una recta.

5 Cuatro números naturales son tales que el cuadrado de la suma de cualesquiera dos de ellos es divisible por el producto de los otros dos números. Demuestre que al menos tres de estos números son iguales.

8 Hay $2000$ componentes en un circuito, cada dos de los cuales estaban inicialmente unidos por un cable. Los gamberros Vasya y Petya cortan los cables uno tras otro. Vasya, que empieza, corta un cable en su turno, mientras que Petya corta dos o tres. El gamberro que corta el último cable de algún componente pierde. ¿Quién tiene la estrategia ganadora?

1 El ángulo formado por los rayos $y=x$ y $y=2x$ ( $x \ge 0$ ) corta dos arcos de una parábola dada $y=x^2+px+q$ . Demuestre que la proyección de uno de los arcos sobre el eje $x$ es más corta en $1$ que la del segundo arco.