2 Sea $a_n=1+n!(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!})$ para cualquier $n\in \mathbb{Z}^{+}$ . Considere $a_n$ puntos en el plano, sin que haya $3$ de ellos colineales. Los segmentos entre cualesquiera $2$ de ellos están coloreados con uno de $n$ colores. Demuestre que entre ellos existen $3$ puntos que forman un triángulo monocromático.

3 Las diagonales de un trapecio $ABCD$ con $AD \parallel BC$ se intersecan en el punto $P$ . El punto $Q$ está entre las rectas paralelas $AD$ y $BC$ de modo que la recta $CD$ separa los puntos $P$ y $Q$ , y $\angle AQD=\angle CQB$ . Demuestre que $\angle BQP = \angle DAQ$ .

2 Halle todas las funciones $f:R \rightarrow R$ que satisfacen la igualdad para cualesquiera $x,y \in R$ : $f(xf(y)+y)+f(xy+x)=f(x+y)+2xy$ ,

1 Demuestre que no existen $4$ puntos en el plano tales que las distancias entre cualquier par de ellos sean un entero impar.

4 Demuestre que para cualesquiera números reales positivos $a_i,b_i,c_i$ con $i=1,2,3$ , $(a_1^3+b_1^3+c_1^3+1)(a_2^3+b_2^3+c_2^3+1)(a_3^3+b_3^3+c_3^3+1)\geq \frac{3}{4} (a_1+b_1+c_1)(a_2+b_2+c_2)(a_3+b_3+c_3)$

1 Sea $A=20132013...2013$ formado uniendo $2013$ , $165$ veces. Demuestre que $2013^2 \mid A$ .

1 Los números naturales han sido divididos en grupos como sigue: $(1), (2, 4), (3, 5, 7), (6, 8, 10, 12), (9, 11, 13, 15, 17), \ldots$ . Sea $S_n$ la suma de los elementos del grupo $n$-ésimo. Demuestre que $\frac{S_{2n+1}}{2n+1}-\frac{S_{2n}}{2n}$ es par.

2 Halle todos los pares de números reales $x$ e $y$ que satisfacen simultáneamente las siguientes 2 relaciones: $x+y+4=\frac{12x+11y}{x^2+y^2}$ $y-x+3=\frac{11x-12y}{x^2+y^2}$

2 Sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reales positivos tales que $x_1\cdot x_2\cdots x_n=1$ . Demuestre la desigualdad $\frac1{x_1(x_1+1)}+\frac1{x_2(x_2+1)}+\cdots+\frac1{x_n(x_n+1)}\geq\frac n2$

2 Considere un tablero de $2013 \times 2013$ casillas; ¿cuál es el número máximo de caballos de ajedrez que se pueden colocar de modo que no haya $2$ que se ataquen entre sí?