5 Para cada entero \(n\ge 1,\) calcula el menor valor posible de \[\sum_{k=1}^{n}\left\lfloor\frac{a_k}{k}\right\rfloor\] sobre todas las permutaciones \((a_1,\dots,a_n)\) de \(\{1,\dots,n\}.\) Propuesto por Shahjalal Shohag, Bangladesh

6 Sea $ABCD$ un paralelogramo con $AC=BC.$ Se elige un punto $P$ en la extensión del rayo $AB$ más allá de $B.$ La circunferencia circunscrita de $ACD$ corta al segmento $PD$ nuevamente en $Q.$ La circunferencia circunscrita del triángulo $APQ$ corta al segmento $PC$ en $R.$ Demuestra que las rectas $CD,AQ,BR$ son concurrentes.

2 Dada una cadena binaria $0101010101$. En un movimiento, Alí cambia 0 a 1 o 1 a 0. Se cumplen las siguientes condiciones: a) Todas las cadenas obtenidas son diferentes. b) Todas las cadenas obtenidas deben tener al menos 5 veces el 1. Demuestra que Alí no puede obtener más de 555 cadenas.

¿Existen 16 números de tres dígitos, usando en total solo tres dígitos diferentes, de modo que todos los números den residuos distintos al dividirlos entre 16? Bulgaria Iris

4b Determina el mayor número real \(C\) tal que $$\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{3z}\geqslant C$$ para todos los números reales \(x,y,z\neq 0\) que satisfacen la ecuación $$\frac{x}{yz}+\frac{4y}{xz}+\frac{9z}{xy}=24$$

Dos jugadores juegan un juego con los números del 1 al \(n>1404\). El primer jugador coloca los números del 1 al \(n\) en un orden arbitrario alrededor de un círculo. El segundo jugador entonces selecciona uno de los números. Cada vez que el segundo jugador selecciona un número, ese número se retira del círculo, y el primer jugador declara si el número se asigna al primer jugador, al segundo jugador, o se descarta. A partir del segundo movimiento en adelante, el segundo jugador debe seleccionar un número que tenga a lo sumo un vecino (es decir, uno de los extremos de un arco de números consecutivos), y el proceso se repite. En cada tres movimientos consecutivos, el primer jugador puede asignar a lo sumo un número para sí mismo y a lo sumo un número para descartar. Demuestra que el primer jugador puede jugar de tal manera que la suma de los números asignados a él sea mayor que la suma de los números asignados al segundo jugador. Propuesto por Mohammad Matin Fadaei

En un triángulo acutángulo \( ABC \), los puntos \( D \) y \( E \) son los pies de las alturas desde los vértices \( A \) y \( B \), respectivamente. \( M \) es el punto medio del lado \( BC \). \( D' \) es la reflexión de \( D \) con respecto a \( M \). La recta \( AM \) interseca la circunferencia circunscrita del triángulo \( ABC \) por segunda vez en \( P \). Dado que \( CD = 2BD \), demuestra que el cuadrilátero \( AED'P \) es cíclico. Propuesto por Mahdi Mashayekhi.

Se da un cuadrilátero cíclico \( ABCD \) con circunferencia circunscrita \( \omega \). \( P \) es la intersección de las diagonales \( AC \) y \( BD \). \( X \) es el punto medio del arco menor \( BC \) de \( \omega \). Los puntos \( Y \) y \( Z \) están sobre los rayos \( AX \) y \( DX \) respectivamente, tales que: \[ 2\angle AYB = \angle BXP, \quad 2\angle DZC = \angle PXC. \] Demuestra que \( YZ \parallel AD \). Propuesto por Ali Zamani

En un triángulo escaleno \(ABC\), sea \(M\) el punto medio del lado \(AB\), \(I\) el centro de la circunferencia inscrita y \(J\) el punto medio del arco \(AB\) de la circunferencia circunscrita a \(\triangle ABC\) que no contiene al punto \(C\). Se trazan las tangentes \(IP\) e \(IQ\) a la circunferencia con centro \(J\) y radio \(JM\) (donde \(A\) y \(P\) están en el mismo lado de la recta \(CI\)). Las circunferencias circunscritas a los triángulos \(APJ\) y \(BQJ\) se intersecan por segunda vez en el punto \(R\). Las rectas \(IP\) e \(IQ\) intersecan a la recta \(AB\) en los puntos \(X\) e \(Y\), respectivamente. Sean \(MX_1\) y \(MY_1\) las bisectrices de los ángulos de los triángulos \(XMJ\) y \(YMJ\), respectivamente. Demuestra que los puntos \(X_1\), \(Y_1\) y \(R\) son colineales.

Dados los enteros positivos $n$ y $k$, donde $k+1 < 2n$. Sea $A$ el conjunto de todas las sucesiones $(a_1,a_2,\ldots,a_{2n})$ tales que $a_1+a_2+\cdots+a_{2n}=0$, $a_i\in\{1,-1\}$, y $a_1+a_2+\cdots+a_i\ge 0$ para todo $i=1,2,\ldots,2n$. Sea $B$ el subconjunto de todos los elementos de $A$ para los cuales $a_k=1$, y $C$ el subconjunto de todos los elementos de $A$ para los cuales $a_{k+1}=1$. Demuestra que $|B|\cdot |C|\ge |A|\cdot |B\cap C|$. ($|X|$ es el número de elementos de $X$.)