G1 En un triángulo acutángulo $ABC$, sean $BB'$ y $CC'$ las alturas. El rayo $C'B'$ interseca la circunferencia circunscrita en $B''$ y sea $\alpha_A$ el ángulo $\widehat{ABB''}$. De manera similar se definen los ángulos $\alpha_B$ y $\alpha_C$. Demuestra que $$\displaystyle\sin \alpha _A \sin \alpha _B \sin \alpha _C\leq \frac{3\sqrt{6}}{32}$$ (Rumania)

C3 Un tablero de ajedrez de $1000 \times 1000$ está cubierto con dominós de $1 \times 10$ que pueden rotarse. No sabemos cuál es la cubierta, pero la estamos buscando. Por esta razón, elegimos unas $N$ casillas del tablero, de las cuales conocemos la posición de los dominós que las cubren. ¿Cuál es el mínimo $N$ tal que después de elegir $N$ y conocer los dominós que las cubren, podemos estar seguros del resto de la cubierta? (Bulgaria)

2 Sea $\lambda$ un número real tal que la desigualdad $0 <\sqrt {2002} - \frac {a} {b} <\frac {\lambda} {ab}$ se cumple para una cantidad infinita de pares $(a, b)$ de enteros positivos. Demuestra que $\lambda \geq 5$.

3 Sea $p$ un número primo de la forma $4k+1$ y sea $\frac{m}{n}$ una fracción irreducible tal que $$\sum_{a=2}^{p-2} \frac{1}{a^{(p-1)/2}+a^{(p+1)/2}}=\frac{m}{n}.$$ Demuestre que $p|m+n$ . (Corregido, gracias Pavel)

2 En un tablero de ajedrez de $8\times 8$, se colocan $n>6$ caballos de modo que para cualesquiera 6 caballos haya dos que se ataquen entre sí. Encuentra el mayor valor posible de $n$.

3 Supón que $a,b,c$ son enteros positivos tales que $a^b$ divide a $b^c$, y $a^c$ divide a $c^b$. Demuestra que $a^2$ divide a $bc$.

C2 Isaak y Jeremy juegan al siguiente juego. Isaak le dice a Jeremy que piensa en unos pocos enteros $k_1,..,k_{2^n}$. Jeremy hace preguntas de la forma: ''¿Es cierto que $k_i<k_j$?'' a las que Isaak responde diciendo siempre la verdad. Después de $n2^{n-1}$ preguntas, Jeremy debe decidir si los números de Isaak son todos distintos entre sí o no. Demuestra que Jeremy no tiene manera de estar ''seguro'' en su decisión final. (UK)

C1 Un comité de $3366$ críticos de cine está votando por los Oscar. Cada crítico votó por un solo actor y por una sola actriz. Después de la votación, se encontró que para todo entero positivo $n \in \left \{1, 2, \ldots, 100 \right \}$, hay algún actor o alguna actriz que fue votado exactamente $n$ veces. Demuestra que hay dos críticos que votaron por el mismo actor y la misma actriz. (Chipre)

A6 Para un polinomio $ P\in \mathbb{R}[x]$, denota $f(P)=n$ si $n$ es el menor entero positivo para el cual se cumple $$(\forall x\in \mathbb{R})(\underbrace{P(P(\ldots P}_{n}(x))\ldots )>0),$$ y $f(P)=0$ si tal $n$ no existe. ¿Existe un polinomio $P\in \mathbb{R}[x]$ de grado $2014^{2015}$ tal que $f(P)=2015$? (Serbia)

Sean $m, n$ enteros positivos y $a, b$ números reales positivos distintos de $1$ tales que $m > n$ y $$ \frac{a^{m+1}-1}{a^m-1} = \frac{b^{n+1}-1}{b^n-1} = c. $$ Demuestra que $a^m c^n > b^n c^{m}$.