1 Sin usar las propiedades de completitud de ${}\mathbb R$ (tales como la existencia de una cota superior mínima), demuestre que una sucesión acotada monótonamente creciente es una sucesión de Cauchy.

2 Demuestre que un conjunto abierto en $\mathbb {R}{}{}$ puede representarse como una unión de a lo sumo una cantidad numerable de intervalos abiertos disjuntos.

3 Si las distancias entre cualesquiera dos puntos de $E \subset \mathbb{R}^3$ son racionales, demuestre que $E$ es numerable.

4 Halle todos los $a \in (0, \infty)$ tales que exista el límite de la sucesión definida por $x_1=0$ y $x_{n+1}=x_n^2+a$ .

5 Defina operaciones sobre $\mathbb{R}^2$ : $(a,b) \oplus (c,d) = (a+c+1, b+d-3)$ y $\alpha \otimes (a,b) = (\alpha a + \alpha - 1, \alpha b - 3\alpha + 3)$ . Demuestre que $(\mathbb{R}^2, \oplus, \otimes)$ forma un espacio lineal y halle el elemento nulo. Halle una base para este espacio.

6 Sea $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ que satisface: lleva conjuntos compactos a conjuntos compactos; para cualquier sucesión encajada de conjuntos compactos $\{E_n\}$ , $\bigcap_{n=1}^{\infty}f(E_n)=f\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_n\right)$ . Demuestre que $f$ es continua.

7 Defina una métrica $d$ sobre el espacio de sucesiones $S$ como $d((x_n), (y_n)) = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} \frac{|x_n - y_n|}{1 + |x_n - y_n|}$ . Demuestre que $(S, d)$ es un espacio métrico completo. Demuestre que $A \subset S$ es totalmente acotado si y solo si para cada $n \ge 1$ existe $C_n$ tal que $|x_n| \le C_n$ para todo $(x_k) \in A$ . ¿Puede definirse una norma sobre $S$ tal que $d(x,y) = \|x-y\|$ ?

1 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC = 90^o$ y con la altura $AH$ ( $H \in BC$ ) . Una circunferencia $(\omega)$ pasa por $B,C$ y corta a los segmentos $AB$ , $AC$ en $M,N$ , respectivamente. La circunferencia $(\omega)$ también corta a la recta $AH$ en $D,E$ ( $D$ se encuentra entre $A,H$ ) . Suponga que $DE = AH\sqrt5$ , demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $HMN$ es tangente a $BC$ .

2 Sean $x_1, x_2, x_3$ y $y_1, y_2, y_3$ , $6$ números reales positivos, tales que $$x_1 + x_2 + x_3 = y_1y_2y_3 \,\,\, and \,\,\, y_1 + y_2 + y_3 = x_1x_2x_3.$$ Halle el valor mínimo de $T = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3$

4 Sea $n > 2$ un entero y sea $S$ un conjunto de $k$ puntos del plano cuyas dos coordenadas se encuentran en $\{1, 2, . . . , n\}$ . Halle el número mínimo de $k$ para el cual se pueden elegir cuatro puntos de S que sean los vértices de un paralelogramo no degenerado.