4 (a) Encuentra la reordenación $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Encuentra la reordenación que minimiza $Q.$ Amir

13 Seis ciudades \(A, B, C, D, E\) y \(F\) están ubicadas en los vértices de un hexágono regular en ese orden. \(G\) es el centro del hexágono. Los lados del hexágono son las carreteras que conectan estas ciudades. Además, hay carreteras que conectan las ciudades \(B, C, E, F\) y \(G\), respectivamente. Debido a la lluvia, una o más carreteras pueden ser destruidas. La probabilidad de que la carretera entre dos ciudades consecutivas permanezca sin destruir es \(p\). Determina la probabilidad de que la carretera entre las ciudades \(A\) y \(D\) esté sin destruir. Amir

11 Una mesa de billar rectangular tiene un agujero en cada una de tres de sus esquinas. Las longitudes de los lados de la mesa son los números reales $a$ y $b$. Se dispara una bola de billar desde la cuarta esquina a lo largo de su bisectriz del ángulo. La bola cae en uno de los agujeros. ¿Cuál debe ser la relación entre $a$ y $b$ para que esto ocurra? Amir

14 Determina todos los valores reales del parámetro $a$ para los cuales la ecuación \[16x^4 -ax^3 + (2a + 17)x^2 -ax + 16 = 0\] tiene exactamente cuatro raíces reales distintas que forman una progresión geométrica. Amir

18 Encuentra, con prueba, el menor entero positivo \( n \) que tenga la siguiente propiedad: en la representación binaria de \( \frac{1}{n} \), todas las representaciones binarias de \( 1, 2, \ldots, 1990 \) (cada una consiste de dígitos consecutivos) aparecen después del punto decimal. Amir

19 Demuestra que \[ \frac{1 - s^a}{1 - s} \leq (1 + s)^{a-1}\] se cumple para todo $1 \neq s > 0$ real y $0 < a \leq 1$ racional. Amir

15 Demuestra que el conjunto $S$ de números naturales $n$ para los cuales $\frac{3}{n}$ no puede escribirse como la suma de dos recíprocos de números naturales ( $S =\left\{n |\frac{3}{n} \neq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \text{ para cualesquiera } p, q \in \mathbb N \right\}$ ) no es la unión de finitamente muchas progresiones aritméticas. Amir

13 Un tronco de pirámide regular de $n$ lados está circunscrito a una esfera. Denota las áreas de la base y de las superficies laterales de la pirámide por $S_1, S_2$ y $S$, respectivamente. Sea $\sigma$ el área del polígono cuyos vértices son los puntos de tangencia de la esfera con las caras laterales de la pirámide. Demuestra que \[\sigma S = 4S_1S_2 \cos^2 \frac{\pi}{n}.\] Amir

16 Sea $p(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes enteros, coeficiente principal $1$ y con una de sus raíces igual al producto de las otras dos. Demuestra que $2p(-1)$ es un múltiplo de $p(1)+p(-1)-2(1+p(0)).$ Amir

12. Sean $3399$ números elegidos arbitrariamente entre los primeros $6798$ enteros $1, 2, \ldots , 6798$ de tal manera que ninguno de ellos divide a otro. Demuestra que hay exactamente $1982$ números en $\{1, 2, \ldots, 6798\}$ que deben terminar siendo elegidos. Amir