B1 Se dice que una función $f : \{1,2,\dots,n \} \to \{ m+1,m+2,\dots,m+n \}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos, es beaut si a) $a$ divide a $f(a)$ para todo $a \in \{1,2,\dots,n \}$ , y b) $f(a) \neq f(b)$ para todos los elementos distintos $a$ y $b$ de $\{1,2,\dots,n\}$ con $\gcd(a,b) \neq 1$ . Determine todos los enteros positivos $n$ tales que, para todo entero positivo $m$ , existe una función beaut $f : \{1,2,\dots,n\} \to \{m+1,m+2,\dots,m+n \}$ .

3 Se dan dos tipos de baldosas, representados en la figura siguiente. https://wiki-images.artofproblemsolving.com//2/23/Izrezak.PNG Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que un tablero de $n\times n$ formado por $n^2$ cuadrados unitarios puede cubrirse sin huecos con estos dos tipos de baldosas (se permiten rotaciones y reflexiones) de modo que no haya dos baldosas superpuestas y ninguna parte de una baldosa cubra una zona fuera del tablero de $n\times n$. Propuesto por Art Waeterschoot

1 Los denominadores de dos fracciones irreducibles son 600 y 700. Halle el valor mínimo del denominador de su suma (escrita como fracción irreducible).

2 En un triángulo acutángulo $ABC$ , las alturas se intersecan en el punto $H$ , y el punto $K$ es el pie de la altura trazada desde el vértice $A$ . La circunferencia $c$ que pasa por los puntos $A$ y $K$ interseca los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ , respectivamente. La recta que pasa por el punto $A$ y es paralela a la recta $BC$ interseca por segunda vez las circunferencias circunscritas de los triángulos $AHM$ y $AHN$ , respectivamente, en los puntos $X$ y $Y$ . Demuestre que $ | X Y | = | BC |$ .

C7 En una compañía de personas algunos pares son enemigos. Un grupo de personas se llama insociable si el número de miembros del grupo es impar y al menos $3$ , y es posible sentar a todos sus miembros alrededor de una mesa redonda de modo que cada dos vecinos sean enemigos. Dado que hay a lo sumo $2015$ grupos insociables, demuestre que es posible particionar la compañía en $11$ partes de modo que no haya dos enemigos en la misma parte. Propuesto por Rusia

Para un entero positivo $n$ con factorización prima $n = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ definamos $\lambda(n) = (-1)^{\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_k}$ . Defina $L(n)$ como la suma de $\lambda(x)$ sobre todos los enteros desde $1$ hasta $n$ . Defina $K(n)$ como la suma de $\lambda(x)$ sobre todos los enteros compuestos desde $1$ hasta $n$ . Para algún $N>1$ , sabemos que para todo $2\le n \le N$ , $L(n)\le 0$ . Demuestre que para este $N$ , para todo $2\le n \le N$ , $K(n)\ge 0$ . Mykhailo Shtandenko

6 Sean $a$ , $b$ y $c$ enteros tales que $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3$ . Demuestre que $abc$ es un cubo perfecto de un entero.

15 Sean $x,y,a,b$ números reales positivos tales que $x\not= y$ , $x\not= 2y$ , $y\not= 2x$ , $a\not=3b$ y $\frac{2x-y}{2y-x}=\frac{a+3b}{a-3b}$ . Demuestre que $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}\ge 1$ .

Sea $n \geq 3$ un entero. Una sucesión $P_1, P_2, \ldots, P_n$ de puntos distintos en el plano se llama buena si no hay tres de ellos colineales, la polilínea $P_1P_2 \ldots P_n$ no se auto-interseca y el triángulo $P_iP_{i + 1}P_{i + 2}$ está orientado en sentido antihorario para cada $i = 1, 2, \ldots, n - 2$. Para cada entero $n \geq 3$ determina el mayor entero posible $k$ con la siguiente propiedad: existen $n$ puntos distintos $A_1, A_2, \ldots, A_n$ en el plano para los cuales hay $k$ permutaciones distintas $\sigma : \{1, 2, \ldots, n\} \to \{1, 2, \ldots, n\}$ tales que $A_{\sigma(1)}, A_{\sigma(2)}, \ldots, A_{\sigma(n)}$ es buena. (Una polilínea $P_1P_2 \ldots P_n$ consiste en los segmentos $P_1P_2, P_2P_3, \ldots, P_{n - 1}P_n$.)

C6 Un cazador y un conejo invisible juegan en una cuadrícula cuadrada infinita. Primero el cazador fija una coloración de las celdas con un número finito de colores. Luego el conejo elige en secreto una celda para empezar. Cada minuto, el conejo informa al cazador del color de su celda actual y luego se mueve en secreto a una celda adyacente que no haya visitado antes (dos celdas son adyacentes si comparten un lado). El cazador gana si después de algún tiempo finito ocurre que: el conejo no puede moverse; o el cazador puede determinar la celda en la que empezó el conejo. Decida si existe una estrategia ganadora para el cazador. Propuesto por Aron Thomas