2 En un país hay vuelos directos de dos sentidos entre algunos pares de ciudades. Cualquier ciudad puede ser alcanzada desde cualquier otra mediante una sucesión de a lo sumo $100$ vuelos. Además, cualquier ciudad puede ser alcanzada desde cualquier otra mediante una sucesión de un número par de vuelos. ¿Cuál es el menor $d$ para el cual uno puede siempre afirmar que cualquier ciudad puede ser alcanzada desde cualquier otra mediante una sucesión de un número par de vuelos que no exceda $d$ ?

28 Halle los valores del parámetro $u$ para los cuales la expresión \[y = \frac{ \tan(x-u) + \tan(x) + \tan(x+u)}{ \tan(x-u)\tan(x)\tan(x+u)}\] no depende de $x.$

30 Dados $m+n$ números: $a_i,$ $i = 1,2, \ldots, m,$ $b_j$ , $j = 1,2, \ldots, n,$ determine el número de pares $(a_i,b_j)$ para los cuales $|i-j| \geq k,$ donde $k$ es un entero no negativo.

31 Una urna contiene bolas de $k$ colores distintos; hay $n_i$ bolas del color $i-th$. Las bolas se seleccionan al azar de la urna, una a una, sin reemplazo, hasta que entre las bolas seleccionadas aparezcan $m$ bolas del mismo color. Halle el mayor número de selecciones.

32 Determine el volumen del cuerpo obtenido al cortar la bola de radio $R$ por el triedro con vértice en el centro de esa bola, si sus ángulos diedros son $\alpha, \beta, \gamma.$

33 ¿En qué caso el sistema de ecuaciones $\begin{matrix} x + y + mz = a \\ x + my + z = b \\ mx + y + z = c \end{matrix}$ tiene solución? Halle condiciones bajo las cuales la solución única del sistema anterior es una progresión aritmética.

34 Las caras de un poliedro convexo son seis cuadrados y 8 triángulos equiláteros, y cada arista es lado común de un triángulo y un cuadrado. Todos los ángulos diedros formados por el triángulo y el cuadrado con una arista común son iguales. Demuestre que es posible circunscribir una esfera alrededor del poliedro, y calcule la razón de los cuadrados de los volúmenes de ese poliedro y de la bola cuya frontera es la esfera circunscrita.

35 Demuestre la identidad \[\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\tan\frac{x}{2}\right)^{2k}\left(1+\frac{2^k}{\left(1-\tan^2\frac{x}{2}\right)^k}\right)=\sec^{2n}\frac{x}{2}+\sec^n x\] para cualquier número natural $n$ y cualquier ángulo $x.$

36 Demuestre la siguiente proposición: el centro de la esfera circunscrita a un tetraedro coincide con el centro de una esfera inscrita en ese tetraedro si y solo si las aristas opuestas del tetraedro son iguales.

37 Demuestre que para números positivos arbitrarios se cumple la siguiente desigualdad \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{a^8 + b^8 + c^8}{a^3b^3c^3}.\]