5 Alice y Beatriz juegan por turnos, colocando piezas rectangulares sobre un tablero de $2025 \times 2025$ . Alice juega primero. Una jugada consiste en colocar una pieza sobre el tablero que cubra un número entero de casillas. Está prohibido jugar una pieza del mismo tamaño que la pieza colocada por el oponente en el turno inmediatamente anterior. Cada pieza debe tener todos sus lados alineados con la cuadrícula del tablero, y no se permite que las piezas se superpongan. Existen infinitas piezas de cada tamaño posible, excepto piezas de tamaño $2025 \times 2025$ . Un jugador pierde si no puede hacer una jugada válida. Determine si existe una estrategia ganadora y, si existe, cuál jugador la tiene. Observación: Una pieza de tamaño $a \times b$ es lo mismo que una pieza de tamaño $b \times a$ .

6 Una sucesión estrictamente creciente de enteros $(a_n)_{n \ge 1}$ se llama sertaneja si, para todo $n$ , \[ a_{n+1} \le a_n + 3. \] Suponga que en alguna sucesión sertaneja no existen índices $i, j, k, l$ , distintos dos a dos, tales que \[ a_i + a_j + a_k = a_l. \] Demuestre que, cuando cada término de esta sucesión se divide por $3$ , hay algún resto (0, 1 o 2) que no aparece.

1 Determine todos los enteros $a, b, c$ que satisfacen las identidades: $a + b + c = 15$ $(a - 3)^3 + (b - 5)^3 + (c -7)^3 = 540$

2 $\boxed{A2}$ Encuentre el valor máximo de $z+x$ si $x,y,z$ satisfacen las condiciones dadas . $x^2+y^2=4$ $z^2+t^2=9$ $xt+yz\geq 6$

3 Encuentre todos los valores del parámetro real $a$ para los cuales el sistema $(|x| + |y| - 2)^2 = 1$ $y = ax + 5$ tiene exactamente tres soluciones

4 Sean $ x$ , $ y$ , $ z$ números reales tales que $ 0 < x,y,z < 1$ y $ xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$ . Demuestre que al menos uno de los números $ (1 - x)y,(1 - y)z,(1 - z)x$ es mayor o igual que $ \frac {1}{4}$

5 $\boxed{\text{A5}}$ Sean $x,y,z$ reales positivos. Demuestre que $(x^2+y+1)(x^2+z+1)(y^2+x+1)(y^2+z+1)(z^2+x+1)(z^2+y+1)\geq (x+y+z)^6$

1 Cada uno de los 2009 puntos distintos del plano está coloreado de azul o rojo, de modo que en cada círculo unitario con centro azul hay exactamente dos puntos rojos. Encuentre el mayor número posible de puntos azules.

3 Alice y Bob juegan el siguiente juego: Alice elige un conjunto $A = \{1, 2, ..., n \}$ para algún número natural $n \ge 2$ . Luego, comenzando por Bob, eligen alternativamente un número del conjunto $A$ , de acuerdo con las siguientes condiciones: inicialmente Bob elige cualquier número que desee; después, el número elegido en cada paso debe ser distinto de todos los números ya elegidos y debe diferir en $1$ de un número ya elegido. El juego termina cuando se han elegido todos los números del conjunto $A$ . Alice gana si la suma de todos los números que ha elegido es compuesta. De lo contrario, gana Bob. Decida qué jugador tiene una estrategia ganadora. Propuesto por Demetres Christofides, Chipre

6 ¿Existen enteros positivos $m$ y $n$ que satisfagan la ecuación $m^3 = 9n^4 + 170n^2 + 289$ ?