Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2019 Problema 1
1 Sea $n$ un entero positivo. Del conjunto $A=\{1,2,3,...,n\}$ se elimina un elemento. ¿Cuál es el menor cardinal posible de $A$ y cuál es el elemento eliminado, dado que la media aritmética de los elementos restantes en $A$ es $\frac{439}{13}$ ?
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2019 Problema 2
2 La sucesión numérica $(a_n)_{n\geq1}$ verifica la relación $a_{n+1} = \frac{n+2}{n} \cdot (a_n-1)$ para cualquier $n\in N^*$ . Demuestre que $a_n \in Z$ para cualquier $n\in N^*$ , si $a_1\in Z$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2020 Problema 11
11 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo. La bisectriz de $\angle ACB$ interseca el lado $AB$ en $D$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $ADC$ interseca el lado $BC$ en $C$ y $E$ con $C \neq E$ . La recta paralela a $AE$ que pasa por $B$ interseca la recta $CD$ en $F$ . Demuestre que el triángulo $\triangle AFB$ es isósceles.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2019 Problema 3
3 Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita $\Omega$ del triángulo acutángulo $\Delta ABC$ . La recta $AC$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $\Delta ABO$ por segunda vez en $X$ . Demuestre que $BC$ y $XO$ son perpendiculares.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2019 Problema 6
6 Sean $p$ y $q$ números enteros. Si $k^2+pk+q>0$ para todo entero $k$ , demuestre que $x^2+px+q>0$ para todo número real $x$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2019 Problema 5
5 Halle todas las ternas de enteros positivos $(a, b, c)$ que verifican $\left(\frac{1}{a}+1\right)\left(\frac{1}{b}+1\right)\left(\frac{1}{c}+1\right)=2$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2019 Problema 7
7 El punto $H$ es el ortocentro del triángulo acutángulo $\Delta ABC$ y el punto $K$ , situado sobre la recta $(BC)$ , es el pie de la perpendicular trazada desde el punto $A$ .El círculo $\Omega$ pasa por los puntos $A$ y $K$ , e interseca los lados $(AB)$ y $(AC)$ en los puntos $M$ y $N$ .La recta que pasa por el punto $A$ y es paralela a $BC$ interseca nuevamente las circunferencias circunscritas de los triángulos $\Delta AHM$ y $\Delta AHN$ en los puntos $X$ y $Y$ . Demuestre que $XY =BC$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2018 Problema 2
2 Sean $x$ , $y$ números reales positivos tales que $\frac{1}{1+x+x^2}+\frac{1}{1+y+y^2}+\frac{1}{1+x+y}=1$ . Demuestre que $xy=1.$
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2019 Problema 9
9 Halle todos los números reales positivos $x$ que verifican $x+\left[\frac{x}{3}\right]=\left[\frac{2x}{3}\right]+\left[\frac{3x}{5}\right]$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2019 Problema 10
10 Los números reales positivos $a$ y $b$ verifican $a^5+b^5=a^3+b^3$ . Halle el mayor valor posible de la expresión $E=a^2-ab+b^2$ .
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